Slingerperiode en de valversnelling g

Niveauaanduiding: HAVO 3 of 4 — passend bij het hoofdstuk Trillingen en golven (periode, frequentie, eenvoudige harmonische beweging).

Inleiding

Een wisselende beweging die zichzelf steeds herhaalt, heet een trilling. Een slinger is een van de eenvoudigste voorbeelden van een trillend systeem: mits de uitslag klein blijft, verloopt de slingering bij benadering harmonisch. De periode van die trilling hangt af van de slingerlengte en de valversnelling g — en opmerkelijk genoeg niet van de massa van de bob.

In dit practicum bepaalt u de periode van een slinger bij verschillende lengtes en leidt u de waarde van g af uit uw meetresultaten. U gebruikt hiervoor de Phyphox-app, die via de versnellingssensor van de smartphone de slingerperiode automatisch registreert.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de begrippen periode, frequentie en trillingstijd definiëren en met elkaar in verband brengen;
• de formule voor de slingerperiode T = 2π√(L/g) toepassen;
• de valversnelling g afleiden uit een grafiek van T² tegen L;
• verklaren waarom de massa van de bob de periode niet beïnvloedt;
• de Phyphox-app gebruiken om de periode nauwkeurig te meten en te exporteren.

Achtergrondinformatie

Voor een wiskundige slinger met kleine uitslagen (kleiner dan circa 15°) geldt de volgende betrekking voor de periode T:

T = 2π · √(L / g)

waarin L de lengte van de slinger is (van ophangpunt tot het zwaartepunt van de bob) en g de valversnelling (9,81 m/s² op zeeniveau). Door deze vergelijking te kwadrateren, ontstaat:

T² = (4π² / g) · L

Dit is een lineaire betrekking: T² is recht evenredig met L. Een grafiek van T² tegen L levert een rechte lijn door de oorsprong met richtingscoëfficiënt 4π²/g. Uit deze richtingscoëfficiënt volgt g direct.

De formule geldt alleen bij kleine uitslagen. Bij grote uitslagen neemt de periode iets toe. Voor uitslagen kleiner dan 15° is de afwijking ten opzichte van de formule minder dan 0,5% en daarmee verwaarloosbaar voor schoolmetingen.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met de Phyphox-app;
• draad of twijndraad (minimaal 1,5 m);
• zware, compacte bob (metalen moer, sleutelbos of zakje zand van minimaal 100 g);
• meetlint (1,5 m);
• hoekmeter of gradenboog voor het controleren van de uitslag (optioneel);
• statiefstaaf of bezemsteel als ophangpunt;
• laptop voor dataverwerking (optioneel).

Veiligheid

Dit practicum heeft geen chemische of elektrische gevaren. Zorg dat het ophangpunt stevig is vastgemaakt zodat de bob niet kan losschieten. Houd de uitslag klein (maximaal 15°). Bij gebruik van een bezemsteel over stoelen: zet de stoelen stevig neer en controleer voor elke meting of het ophangpunt niet is verschoven.

Werkwijze

Voorbereiding

1. Open de Phyphox-app en kies het experiment Pendulum (onder Mechanics). De app toont een lopend gemiddelde van de slingerperiode.
2. Hang de bob aan een draad van 20 cm (gemeten van ophangpunt tot zwaartepunt van de bob).
3. Test de opstelling door de slinger een kleine uitslag te geven en te kijken of de app reageert.

Meting

1. Stel slingerlengte L = 20 cm in.
2. Geef de bob een uitslag van maximaal 10° en laat los.
3. Start de meting in Phyphox en laat de slinger minimaal 15 slingeringen voltooien.
4. Lees de gemiddelde periode T af en noteer deze.
5. Herhaal voor L = 40, 60, 80, 100 en 120 cm. Voer elke meting drie keer uit en noteer het gemiddelde.

Dataverwerking

1. Bereken T² voor elke gemiddelde periode.
2. Maak een tabel met kolommen: L (m), T (s), T² (s²).
3. Teken een grafiek van T² (verticaal) tegen L (horizontaal) en voeg een lineaire trendlijn toe door de oorsprong.
4. Bepaal de richtingscoëfficiënt van de grafiek en bereken g = 4π² / r.c.

Verwerkingsvragen

1. Definieer de begrippen periode en frequentie en geef aan hoe ze aan elkaar gerelateerd zijn.
2. Leid uit T = 2π√(L/g) af dat T² recht evenredig is met L.
3. Bepaal de valversnelling g uit uw grafiek. Vergelijk met de standaardwaarde 9,81 m/s² en bereken de procentuele afwijking.
4. Hoe zou de grafiek er uitzien als u de massa van de bob verdubbelt? Onderbouw uw antwoord met de formule.
5. De formule geldt alleen voor kleine uitslagen. Herhaal één meting met een uitslag van 30° en vergelijk de periode met de theoretische waarde. Wat stelt u vast?
6. Noem twee bronnen van systematische fout in deze opstelling en beschrijf de richting van elk effect (te hoge of te lage g).

Uitwerkingen

1. Periode en frequentie:
   De periode T is de tijd voor één volledige trilling (in seconden). De frequentie f is het aantal trillingen per seconde (in Hz). Ze zijn aan elkaar gerelateerd via f = 1/T.
2. Afleiding T² ~ L:
   Kwadrateren van T = 2π√(L/g) geeft T² = 4π²L/g. Dit is een lineaire functie van L met richtingscoëfficiënt 4π²/g. De y-asafsnijding is nul (lijn door de oorsprong).
3. Bepaling g:
   Uit richtingscoëfficiënt r.c. = 4π²/g volgt g = 4π²/r.c. Een typisch schoolresultaat ligt tussen 9,5 en 9,9 m/s². De procentuele afwijking bedraagt (|g_gemeten − 9,81| / 9,81) × 100%.
4. Effect van massaverdubbeling:
   De massa m komt niet voor in de formule T = 2π√(L/g). Een verdubbeling van de massa heeft dus geen enkel effect op de periode; de grafiek blijft identiek. Dit volgt ook uit het experiment: de slingerbeweging wordt bepaald door de gravitationele versnelling, die voor alle massa's gelijk is.
5. Grote uitslag:
   Bij een uitslag van 30° is de gemeten periode iets groter dan de theoretische waarde voor kleine uitslagen. De formule T = 2π√(L/g) is een benadering die alleen geldt voor sin θ ≈ θ (uitgedruk in radialen). Bij θ = 30° is sin θ = 0,5 terwijl θ = 0,524 rad, een afwijking van circa 5%. De periode is daardoor ongeveer 2% groter dan de formule voorspelt.
6. Systematische fouten:
   Een te lang gemeten draadlengte (meetlint niet langs de draad maar recht naar beneden) leidt tot een te grote L en daarmee een te lage g. Een te grote uitslag leidt tot een iets te lange gemeten T en daarmee ook een te lage g.

Achtergrond

Galileo Galilei observeerde al rond 1583 dat een slingerende lamp in de Dom van Pisa steeds even lang over zijn beweging deed, ongeacht de uitslag. Christiaan Huygens (1629–1695) legde dit later wiskundig vast en paste het principe toe in zijn slingerklok. Tot in de twintigste eeuw was de slingerklok het nauwkeurigste tijdmeetinstrument ter wereld.

De slingerformule T = 2π√(L/g) geldt strikt genomen alleen voor een ideale wiskundige slinger met een massaloze draad en een puntvormige bob. In werkelijkheid heeft de draad massa en heeft de bob een eindige omvang, waardoor de effectieve slingerlengte iets afwijkt van de gemeten draadlengte. Bij nauwkeurige metingen wordt hiervoor gecorrigeerd.

De Phyphox-app is ontwikkeld aan de RWTH-universiteit Aken en gratis beschikbaar voor Android en iOS.