Panfluit en staande golven: frequentie meten met Phyphox

Alledaagse materialen
Naast de Phyphox-app heeft u voor dit practicum gewone plastic drinkrietjes of PVC-buisjes (∅ 10–15 mm), een schaar, klei of plakband om de buizen af te sluiten, en een liniaal nodig. Optioneel: een tweede telefoon als toonbron voor ijking.

Niveauaanduiding: HAVO 3 — passend bij het hoofdstuk Golven en trillingen (staande golven, resonantie, frequentie-golflengte-relatie).

Inleiding

Een eenzijdig gesloten buis produceert bij het inblazen een reeks resonantietonen waarvan de frequenties bepaald worden door de buislengte en de geluidssnelheid. Door rietjes van bekende lengte te maken en de toonfrequentie te meten, kunt u de geluidssnelheid in lucht bepalen — en omgekeerd, bij een bekende geluidssnelheid de te verwachten tonen berekenen.

In dit practicum bouwt u een kleine panfluit, meet u de resonantiefrequenties met de module Audio Spectrum van Phyphox en toetst u de resultaten aan de theorie voor staande golven.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

de resonantiefrequenties van een eenzijdig gesloten buis afleiden via de voorwaarden voor staande golven;
de relatie f = v/(4L) toepassen en de geluidssnelheid berekenen uit metingen;
frequentiemetingen uitvoeren met de module Audio Spectrum in Phyphox;
boventonen (harmonischen) identificeren in het frequentiespectrum;
de invloed van de eindcorrectie op de meetresultaten beschrijven.

Achtergrondinformatie

In een buis die aan één zijde gesloten is, kan een staande golf optreden wanneer de gesloten kant een drukbuik (en verplaatsingsknoop) vormt en de open kant een drukknoop (en verplaatsingsbuik). De langst mogelijke staande golf, de grondtoon, voldoet aan:

L = λ/4 → f₁ = v / (4L)

De hogere resonanties (boventonen) zijn alleen de oneven veelvouden van de grondtoon:

fₙ = n · v / (4L) (n = 1, 3, 5, …)

De geluidssnelheid v in lucht is temperatuurafhankelijk:

v ≈ 331 + 0,6 · T (m/s, T in °C)

Bij 20°C geeft dit v ≈ 343 m/s.

In de praktijk is de effectieve buislengte iets groter dan de gemeten lengte L vanwege de eindcorrectie Δ ≈ 0,3d (met d de binnendiameter van de buis). De gecorrigeerde lengte is L_eff = L + Δ.

Benodigde laboratoriumapparatuur

smartphone met Phyphox-app;
8 rietjes of PVC-buisjes (binnendiameter 10–15 mm), te knippen op gewenste lengtes;
schaar of stanleymes;
klei of plakband voor afsluiting;
schuifmaat of liniaal voor lengte- en diameetermeting;
thermometer of weerapplicatie voor de kamertemperatuur;
optioneel: tweede smartphone met Phyphox Tone Generator voor ijking.

Veiligheid

Geen chemische gevaren. Gebruik bij het knippen van PVC-buisjes een stanleymes met snijmat en werk van u af. Blaas rustig en regelmatig — forceer de toon niet, want dan treden boventonen op die de meting bemoeilijken.

Werkwijze

Bouw en voorbereiding

Knip de buizen op de volgende lengtes: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 en 20 cm. Meet de binnendiameter d.
Sluit de onderkanten luchtdicht af.
Noteer de kamertemperatuur T en bereken de verwachte geluidssnelheid v = 331 + 0,6·T.
Bereken voor elke buislengte de verwachte grondtoonfrequentie: f₁ = v/(4L_eff) met L_eff = L + 0,3d.

Meting

Open Phyphox → Audio Spectrum. Stel het aantal samples in op 8192 voor voldoende frequentieresolutie.
Start de meting. Blaas rustig en gelijkmatig in het langste rietje. Houd de toon aan.
Lees de piekfrequentie af en noteer. Kijk ook of er zichtbare pieken zijn bij 3f₁ en 5f₁ (boventonen).
Herhaal voor alle rietjes. Noteer ook de gemeten temperatuur.

Dataverwerking

Bereken voor elke meting de geluidssnelheid terug: v = 4·L_eff·f₁.
Bereken het gemiddelde van alle v-waarden en vergelijk met de theoretische waarde.
Teken een grafiek van f (verticaal) tegen 1/L (horizontaal). Dit moet een rechte lijn door de oorsprong opleveren met richtingscoëfficiënt v/4.

Verwerkingsvragen

Leid de formule f₁ = v/(4L) af vanuit de staande-golfvoorwaarden voor een eenzijdig gesloten buis.
Waarom zijn alleen de oneven harmonischen aanwezig in een eenzijdig gesloten buis? Geef een tekening van de staande golven voor n = 1, 3 en 5.
Bereken de geluidssnelheid uit uw metingen. Vergelijk met de theoretische waarde bij de gemeten temperatuur.
Wat is de eindcorrectie en waardoor ontstaat die fysisch?
Teken de grafiek f tegen 1/L en bepaal v/4 uit de richtingscoëfficiënt. Vergelijk met uw directe berekening.
Stel u blaast harder, zodat de tweede boventoon (n = 3) domineert. Welke frequentie verwacht u voor de buis van 20 cm?

Uitwerkingen

Afleiding f₁ = v/(4L):
Een eenzijdig gesloten buis heeft aan het gesloten uiteinde een verplaatsingsknoop en aan het open uiteinde een verplaatsingsbuik. De afstand van knoop tot buik is λ/4. Bij de grondtoon past precies één kwartgolf in de buis: L = λ/4 → λ = 4L → f₁ = v/λ = v/(4L).
Alleen oneven harmonischen:
Voor hogere resonanties moet het gesloten uiteinde altijd een knoop zijn en het open uiteinde een buik. De afstanden die hiervoor passen zijn λ/4, 3λ/4, 5λ/4, … De bijbehorende frequenties zijn v/(4L), 3v/(4L), 5v/(4L), … — uitsluitend oneven veelvouden van f₁.
Geluidssnelheid:
Typisch wordt een waarde gevonden tussen 335 en 350 m/s, afhankelijk van de kamertemperatuur. De theoretische waarde bij 20°C is 343 m/s. Afwijkingen van 2–5% zijn te verwachten door onnauwkeurigheid in de lentemeting en de eindcorrectie.
Eindcorrectie:
Aan het open uiteinde van een buis beweegt de lucht niet precies in het vlak van de buismond, maar iets buiten de buis. De effectieve "buik" ligt daardoor op een afstand Δ ≈ 0,3d buiten de buisopening. De effectieve buislengte is daarmee groter dan de gemeten geometrische lengte.
Grafiek f tegen 1/L:
Uit f = v/(4L) volgt f = (v/4)·(1/L). Dit is een rechte lijn door de oorsprong in een f-vs-1/L-grafiek met richtingscoëfficiënt v/4. Uit de helling volgt v = 4 × r.c.
Tweede boventoon (n = 3) voor L = 20 cm:
f₃ = 3·f₁ = 3·v/(4·0,20) = 3 × 343/(0,80) ≈ 1286 Hz.

Achtergrond

De panfluit is een van de eenvoudigste voorbeelden van akoestische resonantie. Hetzelfde principe ligt ten grondslag aan de werking van orgelpijpen, klarinetten en — op microscopische schaal — de trillingen van moleculen in de infraroodspectroscopie. Een eenzijdig gesloten buis gedraagt zich als een kwartgolfresonator; bij een tweezijdig open buis zijn alle harmonischen aanwezig, net als bij snaarinstrumenten.

De temperatuurafhankelijkheid van de geluidssnelheid is een directe consequentie van de kinetische gastheorie: warmere moleculen bewegen sneller en kunnen de drukstoring van een geluidsgolf sneller doorgeven.

De Phyphox-app (RWTH Aken) berekent het frequentiespectrum via een Fast Fourier Transform (FFT). Met 8192 samples bij een bemonsteringsfrequentie van 44 100 Hz bedraagt de frequentieresolutie approximately 5 Hz, voldoende voor muzikale toonherkenning.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert PVC-buisjes, statiefmateriaal en aanvullend meetmateriaal voor geluids- en golfpractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.