De veerconstante bepalen en het massa-veersysteem onderzoeken

Niveauaanduiding: HAVO 3 of 4 — passend bij het hoofdstuk Kracht en Beweging (wet van Hooke) en Trillingen en golven (massa-veersysteem, periode).

Inleiding

Een veer biedt weerstand wanneer hij wordt uitgerekt of ingedrukt: hij trekt altijd terug naar zijn rustpositie. Voor kleine vervormingen is die terugveerkracht recht evenredig met de verlenging. Dit verband staat bekend als de wet van Hooke. De evenredigheidsconstante — de veerconstante k — is een maat voor de stijfheid van de veer.

Dezelfde veerconstante bepaalt ook hoe snel een massa die aan de veer hangt, op en neer trilt. In dit practicum bepaalt u k op twee onafhankelijke manieren: via statische rek-kracht-metingen en via de trillingsperiode van een massa-veersysteem. U vergelijkt beide resultaten en beoordeelt de overeenkomst.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de wet van Hooke (F = k·Δx) toepassen en de veerconstante k bepalen uit een kracht-rekgrafiek;
• de periode van een trillend massa-veersysteem meten met de Phyphox-app;
• de veerconstante berekenen uit de trillingsperiode via T = 2π√(m/k);
• de twee methoden vergelijken en een mogelijke systematische afwijking verklaren;
• de elastische grens identificeren in de meetgrafiek.

Achtergrondinformatie

De wet van Hooke beschrijft de veerkracht F bij een verlenging Δx:

F = k · Δx

De veerconstante k heeft de eenheid N/m: een stijve veer heeft een hoge k-waarde, een slappe veer een lage k-waarde. De grafiek van F tegen Δx is een rechte lijn door de oorsprong; de richtingscoëfficiënt is k.

Wanneer een massa m aan een veer hangt en een kleine uitslag krijgt, trilt het systeem harmonisch. De periode T van die trilling is:

T = 2π · √(m / k)

Herschreven naar k:

k = 4π² · m / T²

Als T en m bekend zijn, kan k dus ook via de trillingsmethode worden bepaald.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• spiraalveer;
• statiefstaaf met klem of stevige bezemsteel als ophangpunt;
• practicummassa's: minimaal 5 × 100 g;
• weegschaal (voor exacte massabepaling);
• meetlint of liniaal;
• smartphone met Phyphox-app;
• plakband of klittenband om telefoon aan massa te bevestigen.

Veiligheid

Er zijn geen chemische gevaren. Hang de veer niet zwaarder dan de elastische grens toelaat. Leg een opvangkussen onder de opstelling. Zorg dat de smartphone stevig vast zit aan de massa voordat u het systeem laat trillen.

Werkwijze

Deel 1 — Statische methode (wet van Hooke)

1. Hang de veer vrij aan het statiefpunt. Markeer de rustpositie van het onderste veereinde.
2. Hang een massa van 100 g aan de veer. Laat het systeem tot stilstand komen en meet de verlenging Δx ten opzichte van de rustpositie.
3. Herhaal voor 200, 300, 400 en 500 g. Noteer telkens de massa m (in kg) en de verlenging Δx (in m).
4. Bereken bij elke stap de kracht F = m·g (gebruik g = 9,81 m/s²).
5. Teken een grafiek van F (verticaal) tegen Δx (horizontaal). Bepaal de richtingscoëfficiënt: dit is k in N/m.

Deel 2 — Dynamische methode (trillingsperiode)

1. Gebruik een vaste massa van 300 g. Bevestig de smartphone met plakband op de massa, met de lange zijde verticaal.
2. Open Phyphox en kies Acceleration without g.
3. Geef de massa een kleine uitslag (2–3 cm) omlaag en laat los.
4. Start Phyphox. Het systeem trilt op en neer; de versnellingssensor registreert de periodieke beweging.
5. Laat het systeem 20 trillingen maken. Exporteer de data of lees de periode af uit de grafiek in de app.
6. Herhaal voor massa's van 200 g en 400 g.
7. Bereken k = 4π²·m/T² voor elke meting.

Verwerkingsvragen

1. Formuleer de wet van Hooke in woorden en in formule.
2. Bepaal k uit de grafiek van Deel 1. Vermeld de eenheid.
3. Bepaal k uit Deel 2 voor elk van de drie massa's. Zijn de waarden consistent met die uit Deel 1?
4. Beschrijf hoe u de elastische grens kunt herkennen in de grafiek van Deel 1.
5. Stel: u verdubbelt de massa in Deel 2 van 200 naar 400 g. Hoe verandert de periode dan? Onderbouw met de formule.
6. Welke systematische fout kan optreden doordat de veer zelf ook massa heeft? In welke richting werkt dit effect op de gemeten k?

Uitwerkingen

1. Wet van Hooke:
   De terugveerkracht van een veer is recht evenredig met de verlenging ten opzichte van de rustlengte: F = k·Δx. De veerconstante k (N/m) is een maat voor de stijfheid van de veer.
2. k uit Deel 1:
   De richtingscoëfficiënt van de grafiek F tegen Δx is gelijk aan k in N/m. Een typische practicumveer heeft een waarde tussen 10 en 50 N/m. De lijn moet door de oorsprong lopen; als dat niet zo is, wijst dit op een meetsystematische fout bij het bepalen van de rustpositie.
3. k uit Deel 2:
   k = 4π²·m/T². De drie waarden voor k (bij 200, 300 en 400 g) moeten onderling overeenstemmen en ook overeenstemmen met de waarde uit Deel 1. Kleine onderlinge afwijkingen (< 5%) zijn te verwachten door mesonnauwkeurigheden in T.
4. Elastische grens in de grafiek:
   Zolang het verband lineair is (rechte lijn), is de veer elastisch. Voorbij de elastische grens buigt de lijn af: de uitrekking neemt disproportioneel toe bij een kleine toename van de kracht, of de lijn kijkt terug naar de rustpositie laat een blijvende rek zien.
5. Verdubbeling massa:
   Uit T = 2π√(m/k) volgt dat T evenredig is met √m. Verdubbeling van m geeft T' = √2·T ≈ 1,41·T. De periode neemt dus toe met een factor √2, niet met factor 2.
6. Massa van de veer:
   Als de veer zelf massa heeft, trilt een deel van die massa ook mee. De effectieve trillende massa is groter dan m alleen. In de formule k = 4π²·m/T² leidt een te kleine m (doordat de veermassa niet is meegeteld) tot een te kleine berekende k. De statische methode heeft dit probleem niet, en levert daardoor in principe een nauwkeuriger k op.

Achtergrond

De wet van Hooke geldt niet alleen voor metalen spiraalveren, maar ook voor elastische materialen zoals rubber, beton en menselijk botweefsel — zolang de vervorming klein genoeg is. In de bouwkunde wordt het principe gebruikt om te berekenen hoe gebouwen doorbuigen onder belasting. Bij aardbevingen of stormen wordt de elasticiteit van constructiematerialen bewust ingezet als dempingsmechanisme.

De trillingsperiode T = 2π√(m/k) is wiskundig volledig analoog aan de slingerperiode T = 2π√(L/g): in beide gevallen is er een terugstelvende kracht evenredig met de uitwijking, en in beide gevallen levert dat een harmonische oscillator op. Het enige verschil is de oorsprong van de terugstelvende kracht: veerkracht versus zwaartekrachtcomponent.