Centripetaalversnelling en middelpuntzoekende kracht onderzoeken

Niveauaanduiding: HAVO 4 — passend bij het hoofdstuk Kracht en beweging (eenparige cirkelbeweging, centripetaalkracht, F = m·a_c).

Inleiding

Bij een eenparige cirkelbeweging is de grootte van de snelheid constant, maar de richting verandert voortdurend. Die richtingsverandering vereist een versnelling — en daarmee een kracht — die altijd naar het middelpunt wijst. In dit practicum meet u die centripetaalversnelling direct met de versnellingssensor van een smartphone en toetst u de formule a_c = ω²r aan de meetresultaten.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de centripetaalversnelling a_c = v²/r = ω²r toepassen en de benodigde centripetaalkracht F_c = m·a_c berekenen;
• de versnellingssensor van een smartphone gebruiken om a_c kwantitatief te meten;
• het kwadratenverband tussen hoeksnelheid en centripetaalversnelling experimenteel aantonen;
• de gemeten versnelling vergelijken met de theoretische waarde en bronnen van systematische fout identificeren.

Achtergrondinformatie

De centripetaalversnelling van een voorwerp op een cirkelbaan met straal r en baansnelheid v is:

a_c = v² / r = ω² · r

waarbij ω = 2π/T de hoeksnelheid is (rad/s) en T de omlooptijd. De centripetaalkracht is F_c = m·a_c.

De smartphone meet via de versnellingssensor de totale versnelling inclusief zwaartekracht. De module Centrifugal Acceleration in Phyphox bepaalt automatisch de component loodrecht op de rotatie-as (de centripetaalcomponent) na aftrek van g.

Een lineaire grafiek van a_c tegen ω² levert een rechte lijn met richtingscoëfficiënt r, waarmee de straal kan worden terugberekend en vergeleken met de gemeten waarde.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met Phyphox-app;
• saladeschaal of lazy Susan;
• plakband;
• liniaal;
• stopwatch;
• weegschaal (voor massabepaling, voor de krachtsberekening).

Veiligheid

Bevestig de smartphone stevig met meerdere lagen plakband. Draai geleidelijk op en controleer de bevestiging tussendoor. Voer de proef op tafel of vloer uit. Houd omstanders op afstand van de draaiende schaal.

Werkwijze

Voorbereiding

1. Bevestig de smartphone op afstand r van het middelpunt van de draaischijf. Meet r nauwkeurig.
2. Open Phyphox → Centrifugal Acceleration. Leg de schijf eerst stil en controleer dat de app 0 m/s² aangeeft (na aftrek van g).
3. Weeg de smartphone: noteer de massa m.

Meting

1. Draai de schijf met een vaste snelheid. Meet de omlooptijd T over vijf omwentelingen met de stopwatch.
2. Lees de gemiddelde centripetaalversnelling a_c af uit Phyphox.
3. Herhaal voor vijf verschillende rotatiesnelheden (varieer T van circa 4 s tot 1 s).
4. Noteer per meting: T (s), ω = 2π/T (rad/s), ω² (rad²/s²), a_c,gemeten (m/s²).

Dataverwerking

1. Plot a_c (verticaal) tegen ω² (horizontaal). Voer een lineaire fit door de oorsprong uit.
2. Lees de richtingscoëfficiënt af: dit is r_fit.
3. Vergelijk r_fit met de gemeten r. Bereken de procentuele afwijking.
4. Bereken voor elke meting ook de centripetaalkracht F_c = m·a_c.

Verwerkingsvragen

1. Leid a_c = ω²r af uit a_c = v²/r via de definitie v = ωr.
2. Waarom levert een grafiek van a_c tegen ω² (niet tegen ω) een rechte lijn op?
3. Bepaal r uit de richtingscoëfficiënt van uw grafiek. Vergelijk met de gemeten r.
4. Bereken de centripetaalkracht op de smartphone bij de hoogste rotatiesnelheid. Vergelijk met de zwaartekracht m·g. Hoe verhouden ze zich?
5. De aardse zwaartekracht houdt de maan in zijn baan. De maan heeft een omlooptijd van 27,3 dagen en een baanstraal van 3,84 × 10⁸ m. Bereken de centripetaalversnelling van de maan en vergelijk met g op het aardoppervlak. Klopt dit met de afstandswet voor zwaartekracht (g ~ 1/r²)?

Uitwerkingen

1. Afleiding a_c = ω²r:
   v = ωr → v² = ω²r². Invullen in a_c = v²/r: a_c = ω²r²/r = ω²r.
2. Rechte lijn a_c vs ω²:
   Uit a_c = ω²r volgt dat a_c lineair is in ω² met proportionaliteitscoëfficiënt r. Een grafiek van a_c vs ω is een parabool; a_c vs ω² is een rechte lijn door de oorsprong.
3. r uit richtingscoëfficiënt:
   r_fit = r.c. van de lineaire fit. Goede overeenkomst met gemeten r (< 5% afwijking) is haalbaar bij nauwkeurige omlooptijdmeting.
4. Centripetaalkracht vs zwaartekracht:
   Bij T = 1 s en r = 0,10 m: ω = 2π rad/s, a_c = 4π² × 0,10 ≈ 3,9 m/s². F_c = 0,20 × 3,9 ≈ 0,78 N. Zwaartekracht: F_z = 0,20 × 9,81 ≈ 1,96 N. Ratio: F_c/F_z ≈ 0,4. Bij hogere rotatiesnelheden kan F_c groter worden dan F_z.
5. Maan:
   T = 27,3 × 24 × 3600 = 2,36 × 10⁶ s. ω = 2π/T = 2,66 × 10⁻⁶ rad/s. a_c = ω²r = (2,66 × 10⁻⁶)² × 3,84 × 10⁸ = 2,72 × 10⁻³ m/s². Verhouding a_maan/g = 2,72 × 10⁻³/9,81 = 2,77 × 10⁻⁴ ≈ 1/3600. Afstandsverhouding: (r_maan/R_aarde)² = (3,84 × 10⁸/6,37 × 10⁶)² = 60,3² ≈ 3636. De 1/r²-wet klopt excellent.

Achtergrond

Newton gebruikte precies dezelfde redenering als in vraag 5 om zijn gravitatiewet te formuleren. Door de centripetaalversnelling van de maan te vergelijken met g op het aardoppervlak en te constateren dat de verhouding klopte met het kwadraat van de afstandsverhouding, concludeerde hij dat de zwaartekracht met het kwadraat van de afstand afneemt. Dit was in 1687 een revolutionaire stap: de wet die appels laat vallen, houdt ook de maan in haar baan.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert centrifuges, rotatieopstellingen en statiefmateriaal voor practica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.