Zweving horen en meten: twee tonen, één ritme

Niveauaanduiding: HAVO 4 of 5 — passend bij het hoofdstuk Golven (superpositie, interferentie, zweving).
Opmerking VMBO-T: zweving valt buiten het VMBO-T-examenprogramma. Een alternatief voor VMBO-T dat ook superpositie illustreert, is het panfluit-practicum (zie aldaar).

Inleiding

Wanneer twee geluidstonen met bijna gelijke frequentie tegelijk klinken, ontstaat een periodieke aan- en afzwelling van het volume. Dit verschijnsel heet zweving of kloppingen (beats). Een orkestmusicus herkent zweving onmiddellijk: als twee instrumenten licht verstend zijn, horen en voelen ze de zweving totdat beide instrumenten exact op dezelfde frequentie zijn afgestemd en de zweving verdwijnt.

In dit practicum genereert één smartphone een toon van bekende frequentie. Een tweede telefoon produceert een iets andere frequentie. U luistert naar de zweving, telt de zwevingsfrequentie en vergelijkt die met het berekende frequentieverschil.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• het principe van superpositie toepassen op twee tonen met bijna gelijke frequentie;
• de zwevingsfrequentie berekenen als het verschil van de twee bronfrequenties;
• zweving zichtbaar maken in een oscilloscoopgrafiek en meten met Phyphox;
• de zwevingsfrequentie bepalen via tijdmeting en via het frequentiespectrum;
• het fenomeen zweving koppelen aan de praktijk van het stemmen van instrumenten.

Achtergrondinformatie

Wanneer twee sinusvormige golven met frequenties f₁ en f₂ (met f₁ ≈ f₂) superpositie vertonen, kan het resulterende signaal worden geschreven als:

y(t) = 2A · cos(π(f₁−f₂)t) · cos(π(f₁+f₂)t)

De term cos(π(f₁+f₂)t) beschrijft de draagtoon op de gemiddelde frequentie ½(f₁+f₂). De term 2A·cos(π(f₁−f₂)t) beschrijft de amplitude-enveloppe, die periodiek fluctueert. Het volume bereikt tweemaal per periode van de enveloppe een maximum, zodat de zwevingsfrequentie gelijk is aan het absolute frequentieverschil:

f_zweving = |f₁ − f₂|

Zweving is hoorbaar tot frequentieverschillen van circa 15–20 Hz. Bij grotere verschillen worden de twee tonen als afzonderlijke klanken waargenomen.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• twee smartphones met Phyphox-app;
• rustige kamer (achtergrondgeluid verstoort de meting);
• oordoppen of koptelefoon (optioneel, voor heldere waarneming).

Veiligheid

Geen gevaren. Houd het volume op een normaal luisterniveau. Langdurige blootstelling aan hoog volume is niet nodig voor dit experiment en moet worden vermeden.

Werkwijze

Deel 1 — Zweving horen en tellen

1. Open op telefoon A de module Tone Generator (onder Acoustics) en stel de frequentie in op 440 Hz.
2. Open op telefoon B dezelfde module en stel in op 441 Hz.
3. Houd beide telefoons naast elkaar en laat beide tonen tegelijk klinken.
4. Luister: u hoort een toon die regelmatig aan- en afzwelt. Tel het aantal zwevingen per seconde.
5. Varieer het frequentieverschil: probeer 2, 3, 5 en 10 Hz. Noteer steeds de zwevingsfrequentie.

Deel 2 — Zweving zichtbaar maken

1. Houd telefoon A op 440 Hz en telefoon B op 443 Hz (verwacht: 3 zwevingen per seconde).
2. Open op een derde apparaat (of na stoppen van de tonen op één van de twee) de module Audio Scope.
3. Leg die telefoon tussen de twee bronnen. U ziet in de oscilloscoopweergave de amplitude-enveloppe.
4. Vergroot de tijdbasis totdat u twee à drie volledige zwevingeycli ziet. Lees de zwevingsperiode af.
5. Bereken de zwevingsfrequentie: f_zweving = 1/T_zweving.

Deel 3 — Frequentiespectrum

1. Open Audio Spectrum op de detecterende telefoon. Zorg dat beide tonen tegelijk klinken.
2. Vergroot de resolutie door 8192 samples in te stellen.
3. Zoek de twee pieken in het spectrum op. Lees beide frequenties nauwkeurig af.
4. Bereken het verschil en vergelijk met de zwevingsfrequentie uit Deel 1 en Deel 2.

Verwerkingsvragen

1. Leid de formule y(t) = 2A·cos(π(f₁−f₂)t)·cos(π(f₁+f₂)t) af door twee sinussen op te tellen. Gebruik de somformule: sin α + sin β = 2·cos(½(α−β))·sin(½(α+β)).
2. Waarom is de zwevingsfrequentie gelijk aan |f₁ − f₂| en niet aan ½|f₁ − f₂|?
3. Vergelijk de zwevingsfrequenties gemeten via tellen (Deel 1), oscilloscoop (Deel 2) en frequentiespectrum (Deel 3). Zijn ze consistent?
4. Wat ziet u in het Audio Scope-scherm als u het frequentieverschil vergroot van 1 naar 10 Hz?
5. Een gitarist hoort 2 zwevingen per seconde bij het afstemmen. De referentietoon is 440 Hz. Welke twee frequenties zijn mogelijk voor de gitaarsnaar?
6. Zweving is een vorm van amplitudemodulatie. Beschrijf hoe radiotechnologie gebruik maakt van hetzelfde principe.

Uitwerkingen

1. Afleiding zweving:
   y = A·sin(2πf₁t) + A·sin(2πf₂t). Met sin α + sin β = 2·cos(½(α−β))·sin(½(α+β)): y = 2A·cos(π(f₁−f₂)t)·sin(π(f₁+f₂)t). De amplitudefactor 2A·cos(π(f₁−f₂)t) heeft periode 1/|f₁−f₂|. De cosinusfactor bereikt tweemaal per periode een maximale absolute waarde (bij positief en negatief maximum), zodat het oor tweemaal per periode een luidheidspiek waarneemt: f_zweving = |f₁−f₂|.
2. Waarom |f₁−f₂| en niet ½|f₁−f₂|:
   De enveloppe |2A·cos(π(f₁−f₂)t)| heeft periode 1/|f₁−f₂|, maar het oor percipieert een luidheidmaximum bij zowel het positieve als het negatieve maximum van de cosinus. Er zijn dus twee pieken per enveloppeperiode: f_zweving = 2 × ½|f₁−f₂| = |f₁−f₂|.
3. Consistentie drie methoden:
   Bij goed uitgevoerde metingen geven alle drie methoden dezelfde zwevingsfrequentie (gelijk aan het ingestelde frequentieverschil). Kleine afwijkingen zijn te verwachten door de beperkte frequentieresolutie van de FFT en door onnauwkeurigheid bij het tellen van zwevingen.
4. Effect van groter frequentieverschil:
   Bij een groter verschil neemt de zwevingsperiode af: de amplitude-enveloppe fluctueert sneller. Boven circa 15–20 Hz zijn de twee tonen niet meer als zweving te horen maar als twee afzonderlijke tonen. In de oscilloscoopweergave worden de enveloppe-cycli steeds korter.
5. Gitaarsnaar:
   f_zweving = |f_snaar − 440| = 2 Hz → f_snaar = 438 Hz of 442 Hz. De gitarist weet niet welke van de twee zonder extra informatie (bijv. een andere referentie of door de snaar aan te spannen en te kijken of de zweving afneemt of toeneemt).
6. AM-radio analogie:
   Amplitudemodulatie (AM) werkt op hetzelfde principe: een lage audiofrequentie moduleert de amplitude van een hoogfrequente draaggolf. Het resulterende signaal bevat twee zijbanden op f_drager ± f_audio, analogisch aan de twee frequenties f₁ en f₂ in de zweving. De ontvanger demoduleert het signaal door de enveloppe te extraheren.

Achtergrond

Zweving is een directe demonstratie van het superpositiebeginsel: golven interfereren en de resulterende amplitude varieert periodiek. Hetzelfde fenomeen treedt op bij lichtgolven (optische zweving), radiogolven en zelfs bij quantummechanische toestanden. In de snaartheorie van de quantummechanica beschrijven de zwevingsfrequenties de energieverschillen tussen quantumniveaus.

De Phyphox Tone Generator kan frequenties instellen met een precisie van 0,1 Hz, meer dan voldoende voor zweving-experimenten. De module Audio Scope toont de tijdreeks van het microfoon-signaal; bij zweving is de amplitude-enveloppe direct zichtbaar als een langzame golving over de snelle draagtoon.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert stemvorksets, statiefmateriaal en aanvullend akoestisch demonstratiemateriaal voor golven- en geluidspractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.