Eenparige cirkelbeweging: centripetaalversnelling en kracht kwantitatief

Niveauaanduiding: VWO 4 — passend bij het domein Kracht en beweging (eenparige cirkelbeweging, vectoriële beschrijving, gravitatiewet, foutenanalyse).

Inleiding

Eenparige cirkelbeweging is de eenvoudigste vorm van versnelde beweging met constante snelheidsgrootte. De versnelling is uitsluitend centripetaal — gericht naar het middelpunt — en heeft de grootte a_c = ω²r. In dit practicum toetst u dit verband kwantitatief via twee onafhankelijke methoden, voert u een foutenpropagatie uit en past u de resultaten toe op de aardbaan om de zon.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• a_c = ω²r afleiden als vectoriële richtingsafgeleide van de snelheidsvector;
• het kwadratenverband a_c ~ ω² experimenteel verifiëren via lineaire regressie;
• de straal r bepalen uit de richtingscoëfficiënt en vergelijken met de gemeten waarde;
• een foutenpropagatie uitvoeren voor a_c en r;
• de centripetaalversnelling van de aarde in haar baan om de zon berekenen en vergelijken met g.

Achtergrondinformatie

De positievector van een deeltje op een cirkelbaan met straal r en hoeksnelheid ω is r(t) = r·(cos ωt, sin ωt). De snelheid is ṙ(t) = rω·(−sin ωt, cos ωt) en de versnelling:

r̈(t) = −ω²r·(cos ωt, sin ωt) = −ω² · r(t)

De versnelling wijst dus altijd naar het middelpunt (negatieve r-richting) en heeft grootte |r̈| = ω²r.

De foutenpropagatie voor a_c = ω²r bij gemeten ω = 2π/T en r:

(σ_ac/a_c)² = (2σ_T/T)² + (σ_r/r)²

De factor 2 bij σ_T laat zien dat de omlooptijdmeting kritisch is.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met Phyphox-app;
• saladeschaal of draaischijf;
• plakband;
• schuifmaat of liniaal;
• stopwatch (meting over 10 omwentelingen);
• weegschaal.

Veiligheid

Bevestig de smartphone stevig. Controleer de bevestiging bij elke nieuwe rotatiesnelheid. Voer de proef op een veilige ondergrond uit. Geen omstanders in de draaicirkel.

Werkwijze

Deel 1 — a_c vs ω² bij constante r

1. Bevestig de telefoon op r = 10 cm van het middelpunt.
2. Open Phyphox → Centrifugal Acceleration.
3. Draai met vijf verschillende rotatiesnelheden (T ≈ 4, 3, 2, 1,5, 1 s). Meet T over 10 omwentelingen. Lees a_c af.
4. Plot a_c vs ω² en bepaal r uit de richtingscoëfficiënt.

Deel 2 — a_c vs r bij constante ω

1. Houd de rotatiesnelheid constant (T ≈ 2 s).
2. Verplaats de telefoon naar r = 5, 8, 10, 12, 15 cm. Meet a_c bij elke positie.
3. Plot a_c vs r. Bepaal ω² uit de richtingscoëfficiënt en vergelijk met de gemeten ω.

Foutenpropagatie

1. Schat σ_T (standaardafwijking over drie metingen van T) en σ_r = 1 mm.
2. Bereken σ_ac/a_c voor één meetpunt. Welke term domineert?

Verwerkingsvragen

1. Leid a_c = ω²r af via vectordifferentiatie van r(t) = r·(cos ωt, sin ωt).
2. Bepaal r uit de fit van Deel 1 met onzekerheid. Vergelijk met de gemeten r.
3. Bepaal ω uit de fit van Deel 2. Vergelijk met de gemeten ω.
4. Voer de foutenpropagatie volledig uit. Welke term domineert: σ_T of σ_r?
5. Bereken de centripetaalversnelling van de aarde in haar baan om de zon (r = 1,50 × 10¹¹ m, T = 365,25 d). Wat is de verhouding a_zon/g? Wat levert deze kracht?
6. Een satellliet in een lage aardbaan (hoogte 400 km) heeft a_c = g(R/r)² ≈ 8,7 m/s². Bereken de baansnelheid en de omlooptijd.

Uitwerkingen

1. Vectordifferentiatie:
   r(t) = r(cos ωt, sin ωt). ṙ = rω(−sin ωt, cos ωt). r̈ = rω²(−cos ωt, −sin ωt) = −ω²r(t). De versnelling heeft grootte ω²r en wijst tegengesteld aan r(t), dus naar het middelpunt.
2. r uit Deel 1:
   r_fit = r.c. ± σ_r.c.. Vergelijking met gemeten r = 0,10 m geeft typisch een afwijking < 5%.
3. ω uit Deel 2:
   ω²_fit = r.c. → ω_fit = √r.c. Vergelijking met gemeten ω = 2π/T geeft de consistentie van de twee methoden.
4. Foutenpropagatie:
   Bij T = 2 s, σ_T = 0,05 s: 2σ_T/T = 5%. Bij r = 0,10 m, σ_r = 0,001 m: σ_r/r = 1%. De omlooptijdmeting domineert; σ_ac/a_c ≈ 5%.
5. Aarde om de zon:
   T = 3,156 × 10⁷ s. ω = 1,99 × 10⁻⁷ rad/s. a_c = ω²r = (1,99 × 10⁻⁷)² × 1,50 × 10¹¹ = 5,93 × 10⁻³ m/s². a_zon/g = 6,0 × 10⁻⁴. Deze kleine centripetaalversnelling wordt geleverd door de zwaartekracht van de zon.
6. ISS-baan (h = 400 km):
   r = R_aard + h = 6,37 × 10⁶ + 4 × 10⁵ = 6,77 × 10⁶ m. a_c = 8,7 m/s². v = √(a_c·r) = √(8,7 × 6,77 × 10⁶) = 7,67 × 10³ m/s ≈ 7,7 km/s. T = 2πr/v = 2π × 6,77 × 10⁶/7670 ≈ 5545 s ≈ 92 min.

Achtergrond

De vectoriële afleiding van centripetaalversnelling via differentiatie van de positievector is een van de eerste concrete toepassingen van vectorcalculus in de schoolfysica. Hetzelfde formalisme ligt ten grondslag aan de beschrijving van alle cirkelvormige bewegingen — van atoomkern tot planeetbaan — en vormt de brug naar de gravitatiewet en de Kepler-wetten.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert rotatieopstellingen, centrifuges en statiefmateriaal voor practica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.