Doppler-effect: kwantitatieve analyse en toepassingen

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Golven (Doppler-effect, frequentieverschuiving, relativistische uitbreiding, foutenanalyse).

Inleiding

Het Doppler-effect beschrijft de frequentieverschuiving die een stilstaande waarnemer waarneemt wanneer een geluidsbron beweegt. In dit practicum bepaalt u de bronsnelheid via twee onafhankelijke methoden — Doppler-frequentieanalyse en mechanische baansnelheidsbepaling — en voert u een foutenpropagatie uit. U onderzoekt tevens de sinusvormige variatie van de waargenomen frequentie tijdens cirkelbeweging en vergelijkt het resultaat met de theoretische voorspelling.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de Doppler-formules voor bewegende bron en bewegende waarnemer afleiden en toepassen;
• de bronsnelheid bepalen via de gemeten frequentieverschuiving en een foutenpropagatie uitvoeren;
• de sinusvormige frequentiemodulatie tijdens cirkelbeweging kwantitatief beschrijven;
• de klassieke Doppler-formule vergelijken met de relativistische versie voor lichtgolven;
• toepassingen van het Doppler-effect in radar, echografie en kosmologie beschrijven.

Achtergrondinformatie

Voor een bewegende bron en stilstaande waarnemer geldt:

f' = f₀ · v / (v ∓ v_b)

Minteken bij nadering (f' > f₀), plusteken bij verwijdering (f' < f₀). Voor een stilstaande bron en bewegende waarnemer:

f' = f₀ · (v ± v_w) / v

Plusteken bij nadering van de waarnemer naar de bron. De twee gevallen zijn voor geluid niet symmetrisch — dit is een fundamenteel verschil met licht.

Bij cirkelbeweging van de bron rond de detector varieert de radiale component van de bronsnelheid als:

v_r(t) = v_b · sin(2πt/T + φ)

De waargenomen frequentie varieert daarmee als:

f'(t) = f₀ · v / (v − v_b · sin(2πt/T + φ))

Voor v_b ≪ v is dit bij benadering f'(t) ≈ f₀ · (1 + v_b/v · sin(...)). De amplitude van de frequentiemodulatie is dan Δf ≈ f₀ · v_b/v.

Voor de foutenpropagatie van v_b = v·(f'_max−f'_min)/(f'_max+f'_min):

σ_vb/v_b ≈ √2 · σ_f · v / (v_b · f₀)

Benodigde laboratoriumapparatuur

• twee smartphones met Phyphox-app;
• touw van 1,5 m, beschermhoes;
• meetlint (straal zweefcirkel);
• stopwatch;
• thermometer (voor v_lucht);
• laptop voor dataverwerking in Excel.

Veiligheid

Controleer touwbevestiging. Wikkel telefoon in beschermhoes. Vrije ruimte minimaal 2 m rondom. Geen omstanders in zweefzone.

Werkwijze

Voorbereiding

1. IJk de basisfrequentie f₀ van telefoon A via Audio Autocorrelation op telefoon B. Noteer de exacte waarde.
2. Configureer Doppler Effect op telefoon B: basisfrequentie = gemeten f₀, bereik = 100 Hz, tijdstap = 0,05 s.
3. Meet kamertemperatuur T en bereken v = 331 + 0,6·T.
4. Meet de zweefstraal r nauwkeurig.

Meting

1. Start de toonbron (1000 Hz) op telefoon A. Leg telefoon B op 2 m afstand.
2. Start de meting en cirkel gelijkmatig. Meet de omlooptijd T met de stopwatch (meerdere omgangen middelen).
3. Exporteer de frequentietijdserie via Phyphox (CSV).
4. Herhaal voor twee andere zweefsnelheden (andere omlooptijden).

Dataverwerking

1. Importeer de CSV in Excel. Plot f'(t).
2. Fit een sinusvorm: f'(t) = f₀ + A·sin(2πt/T + φ). Bepaal de amplitude A.
3. Bereken v_b,Doppler = A·v/f₀.
4. Vergelijk met v_b,mech = 2πr/T.
5. Voer foutenpropagatie uit voor v_b,Doppler.

Verwerkingsvragen

1. Leid beide Doppler-formules af (bewegende bron, bewegende waarnemer). Toon aan dat ze voor v_b = v_w ≪ v bij benadering gelijke uitkomsten geven, maar exact verschilden.
2. Bereken v_b uit de sinusamplitude A: v_b = A·v/f₀. Onderbouw deze benadering.
3. Voer de foutenpropagatie volledig uit. Welke meetgrootheid levert de grootste bijdrage aan σ_vb?
4. Vergelijk v_b,Doppler met v_b,mech voor alle drie zweefsnelheden. Is het verband lineair?
5. De relativistische Doppler-formule voor licht is f' = f₀·√((1+β)/(1−β)) met β = v/c. Toon aan dat dit voor v ≪ c convergeert naar f' ≈ f₀·(1 + v/c). Vergelijk met de klassieke formule.
6. Kosmologische roodverschuiving: een sterrenstelsel heeft een roodverschuiving z = (f₀−f')/f₀ = 0,05. Bereken de recessiesnelheid in km/s (gebruik de niet-relativistische benadering). Is de benadering geldig?

Uitwerkingen

1. Beide formules en asymmetrie:
   Bewegende bron: golflengte wordt samengedrukt tot λ' = (v−v_b)/f₀ → f' = v/λ' = f₀·v/(v−v_b). Bewegende waarnemer: de waarnemer ontmoet golven sneller; effectieve golfsnelheid is v+v_w → f' = (v+v_w)/λ₀ = f₀·(v+v_w)/v. Bij v_b = v_w = u: bewegende bron geeft f₀·v/(v−u), bewegende waarnemer f₀·(v+u)/v. Voor u/v ≪ 1 geven beide ≈ f₀·(1+u/v), maar exact zijn ze ongelijk. Voor licht (c = const) geldt de symmetrische relativistische versie.
2. Benadering v_b = A·v/f₀:
   Uit f'(t) ≈ f₀·(1 + v_r/v) voor v_r ≪ v volgt f'(t) − f₀ ≈ f₀·v_r/v = f₀·v_b/v·sin(...). De amplitide A = f₀·v_b/v → v_b = A·v/f₀. Geldig voor v_b/v ≪ 1 (voor schoolmetingen: v_b ≈ 3 m/s, v ≈ 343 m/s → v_b/v ≈ 0,009, ruim geldig).
3. Foutenpropagatie:
   σ_A wordt bepaald door de frequentieresolutie van de Doppler-module (≈ 1–2 Hz) en door onregelmatigheid in de zweefbeweging. σ_v/v ≈ 0,3% (temperatuuronzekerheid). Dominant: σ_A/A. Bij A ≈ 9 Hz en σ_A ≈ 2 Hz: σ_vb/v_b ≈ 22%. De zweefregelmaat is de kritische factor.
4. Lineariteit v_b,Doppler vs v_b,mech:
   Beide zijn evenredig met de zwaasnelheid. Bij een lineaire grafiek door de oorsprong met helling ≈ 1 is de overeenkomst goed. Afwijkingen worden veroorzaakt door onregelmatige zweefsnelheid en het feit dat de Doppler-module de radiale component meet, niet de totale baansnelheid.
5. Relativistische Doppler voor v ≪ c:
   f' = f₀·√((1+β)/(1−β)) ≈ f₀·(1+β)^½·(1+β/2) voor β ≪ 1 via Taylor: √(1+β) ≈ 1+β/2, √(1/(1−β)) ≈ 1+β/2. Product ≈ 1 + β = 1 + v/c. Dus f' ≈ f₀·(1+v/c), identiek aan de klassieke formule voor bewegende waarnemer in de limiet v ≪ c.
6. Roodverschuiving z = 0,05:
   z = v/c → v = 0,05·3×10⁵ = 15 000 km/s. De niet-relativistische benadering is geldig zolang v ≪ c; bij z = 0,05 is v/c = 5%, wat aan de grens ligt maar voor een schatting acceptabel is.

Achtergrond

De asymmetrie tussen bewegende bron en bewegende waarnemer in de klassieke Doppler-formule was een van de argumenten die Einstein gebruikte bij het formuleren van de speciale relativiteitstheorie in 1905. Als de snelheid van licht absoluut is en er geen ether bestaat, dan moeten bron en waarnemer symmetrisch behandeld worden — wat leidt tot de relativistische versie. De kosmologische roodverschuiving die Hubble mat, is strikt genomen geen Doppler-effect maar een gevolg van de uitdijing van de ruimte zelf; voor kleine roodverschuivingen zijn beide beschrijvingen equivalent.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert stemvorksets en akoestisch demonstratiemateriaal voor golven- en geluidspractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.