Barometrische hoogteformule toetsen met Phyphox

Alledaagse materialen
Naast de Phyphox-app op uw smartphone heeft u een gebouw met meerdere verdiepingen of een helling van minstens 20 m hoogteverschil nodig, een meetlint en een thermometer. Voor de uitbreiding: een tweede smartphone als referentiesensor op een vaste hoogte.

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Thermodynamica en vloeistoffen (ideale gaswet, barometrische formule, exponentieel verband, foutenanalyse).
Let op: controleer vooraf of uw smartphone een barometersensor heeft.

Inleiding

De drukafname van de atmosfeer met hoogte is een direct gevolg van de ideale gaswet en de hydrostatische evenwichtsconditie. Voor een isotherme atmosfeer leidt een eenvoudige differentiaalvergelijking tot de barometrische hoogteformule P(h) = P₀·e^(−h/H). In dit practicum toetst u dit exponentiële verband over een bereik van tientallen meters, past u de schaalhoogte H aan uw meting aan via lineaire regressie op ln(P) vs h, en voert u een foutenpropagatie uit.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

de barometrische hoogteformule afleiden uit de hydrostatische evenwichtsconditie en de ideale gaswet;
H bepalen via lineaire regressie op ln(P) vs h;
de gemeten H vergelijken met de theoretische waarde en de afwijking verklaren via de werkelijke temperatuur;
een foutenpropagatie uitvoeren voor H;
de barometrische formule toepassen op de bepaling van de hoogte van een gebouw.

Achtergrondinformatie

De hydrostatische evenwichtsconditie voor een dun laagje atmosfeer is:

dP = −ρ · g · dh

Voor een ideaal gas geldt P = ρRT/M, dus ρ = PM/(RT). Invullen geeft:

dP/P = −(Mg/RT) dh

Integratie bij constante T (isotherme atmosfeer) levert:

P(h) = P₀ · exp(−Mgh/RT) = P₀ · exp(−h/H)

met schaalhoogte H = RT/(Mg). Bij T = 288 K (15°C): H = 8,314 × 288/(0,0290 × 9,81) ≈ 8420 m.

Door ln(P) = ln(P₀) − h/H te plotten tegen h, ontstaat een rechte lijn met richtingscoëfficiënt −1/H. Uit de richtingscoëfficiënt volgt H, en daarmee kan de effectieve atmosferische temperatuur worden teruggerekend: T_eff = MgH/R.

Voor de foutenpropagatie van H = −1/r.c.:

σ_H/H = σ_r.c./|r.c.|

Benodigde laboratoriumapparatuur

smartphone met barometersensor en Phyphox-app;
gebouw met minimaal vijf verdiepingen, of helling van ≥ 30 m;
meetlint voor onafhankelijke hoogtebepaling;
thermometer;
laptop voor dataverwerking in Excel.

Veiligheid

Geen gevaren. Meet op toegankelijke verdiepingen. Noteer hoogte en druk zorgvuldig; kleine fouten in h hebben een significante invloed op de bepaling van H.

Werkwijze

Meting

Meet op minimaal zes hoogtes (begane grond t/m de hoogste toegankelijke verdieping). Meet elke verdiepingshoogte onafhankelijk met het meetlint.
Open Phyphox → Barometer. Wacht op elke verdieping minimaal 30 seconden en gemiddel over minimaal 20 waarden. Noteer P̄ en σ_P.
Meet de kamertemperatuur T op elke verdieping.

Dataverwerking

Bereken ln(P) voor elke meting. Bereken σ_lnP = σ_P/P.
Plot ln(P) (verticaal) tegen h (horizontaal) met foutbalken. Voer een lineaire fit uit.
Bepaal H = −1/r.c. en σ_H.
Bereken T_eff = MgH/R en vergelijk met de gemeten temperatuur.
Bepaal ook P₀ uit de y-asafsnijding (extrapolatie naar h = 0).

Verwerkingsvragen

Leid P(h) = P₀·exp(−h/H) volledig af uit de hydrostatische evenwichtsconditie en de ideale gaswet.
Bepaal H met onzekerheid uit uw lineaire fit. Vergelijk met de theoretische waarde bij de gemeten temperatuur.
Bereken T_eff uit uw gemeten H. Vergelijk met de gemeten temperatuur. Hoe groot is het verschil en wat verklaart dit?
Voer de volledige foutenpropagatie uit voor H. Welke meetgrootheid domineert: σ_P of σ_h?
De aarde heeft een atmosfeer, de maan niet. Bereken de ontsnappingssnelheid voor watermoleculen (M = 0,018 kg/mol) van de maan (g_maan = 1,62 m/s², R_maan = 1,74 × 10⁶ m) en vergelijk met de thermische snelheid v_th = √(3RT/M) bij T = 300 K. Wat concludeert u?
De barometrische hoogteformule geldt voor een isotherme atmosfeer. In werkelijkheid neemt de temperatuur af met de hoogte (lapsusnelheid ≈ 6,5 K/km). Beschrijf kwalitatief hoe dit de drukafname beïnvloedt.

Uitwerkingen

Afleiding:
dP = −ρg dh. Ideale gaswet: ρ = PM/(RT). Substitutie: dP/P = −(Mg/RT)dh. Integratie van P₀ tot P(h): ln(P/P₀) = −Mgh/(RT) = −h/H. Dus P(h) = P₀·e^(−h/H) met H = RT/(Mg).
H en vergelijking:
Typisch schoolresultaat bij een gebouw van 15–20 m: H = (8 ± 2) × 10³ m. De grote onzekerheid is te wijten aan het beperkte hoogtebereik (de fit is gevoelig voor ruis bij kleine hoogteverschillen). Theoretische waarde bij 18°C (291 K): H = 8,314 × 291/(0,0290 × 9,81) ≈ 8490 m.
T_eff:
T_eff = MgH/R. Bij H = 8420 m: T_eff = 0,0290 × 9,81 × 8420/8,314 ≈ 288 K = 15°C. Afwijking van de gemeten kamertemperatuur is te verwachten: de schaalhoogte representeert een gemiddelde over de gehele atmosfeer, niet alleen de nabijheid van het gebouw.
Foutenpropagatie:
Bij σ_P = 0,1 hPa en P ≈ 1013 hPa: σ_lnP = 0,1/1013 = 0,0001. Bij σ_h = 0,01 m en h ≈ 15 m: relatieve fout in h = 0,07%. De drukresolutie van de barometersensor domineert sterk; meer metingen per etage (middeling) verlaagt σ_P.
Maan en ontsnapping:
Ontsnappingssnelheid maan: v_esc = √(2g_maanR_maan) = √(2 × 1,62 × 1,74 × 10⁶) = 2380 m/s. Thermische snelheid water bij 300 K: v_th = √(3 × 8,314 × 300/0,018) = √(415700) ≈ 645 m/s. v_th < v_esc, maar de Maxwellverdeling heeft een staart boven v_esc. Over geologische tijden ontsnapt voldoende gas om de atmosfeer te laten verdwijnen.
Lapsusnelheid effect:
Als de temperatuur daalt met de hoogte, is de lucht op grotere hoogte kouder en daarmee dichter dan in een isotherme atmosfeer. Een dichtere luchtlaag oefent meer druk uit, zodat de druk minder snel daalt dan de isotherme formule voorspelt. De effectieve schaalhoogte is kleiner dan RT/(Mg) bij de oppervlaktetemperatuur.

Achtergrond

De barometrische hoogteformule is een van de fundamentele resultaten van de klassieke statistische mechanica. De Boltzmann-factor e^(−E/(kT)) — die de kans op een energietoestand E bij temperatuur T geeft — reduceert voor een gasmolecuul op hoogte h (potentiële energie mgh) tot e^(−mgh/(kT)), identiek aan e^(−h/H) met H = kT/(mg). De schaalhoogte H is daarmee een directe maat voor de thermische energie van de atmosfeer.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert drukmeters, barometers en aanvullend meetmateriaal voor atmosferische practica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.