Staande golven in een gesloten buis: geluidssnelheid en eindcorrectie

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Golven (staande golven, resonantie, geluidssnelheid, foutenanalyse).

Inleiding

Een gesloten pijp produceert bij resonantie een reeks tonen waarvan de frequenties uitsluitend de oneven harmonischen van de grondtoon omvatten. Uit de resonantiefrequentie en de buislengte kan de geluidssnelheid worden afgeleid — mits de eindcorrectie correct wordt toegepast. In dit practicum bepaalt u de geluidssnelheid v via een lineaire regressie op de relatie f = v/(4L_eff), voert u een foutenpropagatie uit en vergelijkt u het resultaat met de theoretische waarde op basis van de kamertemperatuur.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de randvoorwaarden voor staande golven in een eenzijdig gesloten buis toepassen en de reeks resonantiefrequenties afleiden;
• de geluidssnelheid bepalen via een lineaire fit op f versus 1/L_eff;
• een foutenpropagatie uitvoeren voor v en de dominante foutbron identificeren;
• de eindcorrectie kwantificeren en de invloed ervan op de bepaling van v beoordelen;
• boventonen identificeren in het FFT-spectrum en de harmonische reeks experimenteel verifiëren.

Achtergrondinformatie

De resonantiefrequenties van een eenzijdig gesloten cilindrische buis volgen uit de randvoorwaarden: verplaatsingsknoop aan het gesloten uiteinde, verplaatsingsbuik aan het open uiteinde. De grondtoon en hogere resonanties zijn:

fₙ = n · v / (4L_eff)   (n = 1, 3, 5, …)

De effectieve buislengte bevat een eindcorrectie voor het open uiteinde:

L_eff = L + 0,3d

waarbij d de binnendiameter van de buis is. De factor 0,3 is een empirische benadering; de exacte waarde hangt af van de geometrie van de buisopening.

De geluidssnelheid in lucht als ideaal gas is:

v = √(γRT/M)

Met γ = 1,40 (twee-atomig gas), R = 8,314 J/(mol·K), M = 0,0290 kg/mol voor lucht, en T in Kelvin. Dit geeft bij 20°C: v ≈ 343 m/s. De lineaire benadering v ≈ 331 + 0,6·T (°C) is voldoende nauwkeurig voor schoolmetingen.

Voor de foutenpropagatie van v = 4·L_eff·f:

(σ_v/v)² = (σ_L/L_eff)² + (σ_f/f)²

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met Phyphox-app;
• 8–10 PVC-buisjes (binnendiameter 10–20 mm, lengtes 5–25 cm);
• schuifmaat (voor lengte en diameter);
• klei of siliconenkit voor luchtdichte afsluiting;
• thermometer (kamertemperatuur);
• optioneel: tweede smartphone met Tone Generator voor gecontroleerde resonantie-excitatie.

Veiligheid

Geen chemische gevaren. Gebruik bij het knippen van PVC-buisjes een stanleymes met snijmat. Blaas rustig — krachtig blazen activeert boventonen die de grondtoonmeting verstoren.

Werkwijze

Voorbereiding

1. Meet met de schuifmaat de binnendiameter d van elke buis. Bereken Δ = 0,3·d.
2. Knip de buizen op de gewenste lengtes L. Noteer L en bereken L_eff = L + Δ.
3. Sluit de onderkanten luchtdicht af.
4. Meet de kamertemperatuur T. Bereken v_th = 331 + 0,6·T en v_th,exact = √(γRT/M).
5. Schat de meetonzekerheden: σ_L (schuifmaat: ±0,1 mm), σ_f (Phyphox Audio Spectrum: ±5 Hz voor 8192 samples).

Meting grondtonen

1. Open Phyphox → Audio Spectrum. Stel het aantal samples in op 8192 of 16384 voor maximale frequentieresolutie.
2. Blaas rustig en gelijkmatig in de buis. Houd de toon minimaal 3 seconden aan.
3. Lees de piekfrequentie f₁ af. Herhaal drie keer per buis en bereken het gemiddelde en σ_f.

Boventonen

1. Blaas harder in de langste buis zodat de tweede resonantie (n = 3) domineert. Lees f₃ af.
2. Controleer: f₃/f₁ ≈ 3?
3. Identificeer in het FFT-spectrum de pieken bij f₁, f₃ en eventueel f₅.

Dataverwerking

1. Maak een tabel: L (m), d (m), Δ (m), L_eff (m), 1/L_eff (m⁻¹), f₁ (Hz), σ_f (Hz), v = 4·L_eff·f₁ (m/s).
2. Plot f₁ (verticaal) tegen 1/L_eff (horizontaal) met foutbalken. Voer een lineaire regressie uit door de oorsprong.
3. Bereken v = 4 × r.c. ± 4 × σ_r.c..
4. Vergelijk met v_th. Berekend de procentuele afwijking en beoordeel of v_th binnen het onzekerheidsinterval valt.

Verwerkingsvragen

1. Leid de reeks f = n·v/(4L) (n = 1,3,5,…) af vanuit de randvoorwaarden voor een eenzijdig gesloten buis. Geef tekeningen voor n = 1 en n = 3.
2. Waarom bevat een tweezijdig open buis alle harmonischen terwijl een eenzijdig gesloten buis alleen de oneven bevat?
3. Bepaal v met onzekerheid: v = (… ± …) m/s. Valt v_th binnen het interval?
4. Voer de foutenpropagatie uit voor één meetpunt (L = 0,20 m). Welke term — σ_L/L of σ_f/f — domineert?
5. Wat is de invloed van de eindcorrectie op uw bepaling van v? Bereken hoeveel de eindcorrectie de gevonden v verandert voor uw kleinste buis.
6. Bepaal f₃/f₁ voor de langste buis uit uw meting. Wijkt dit af van 3? Wat is een mogelijke verklaring?
7. De geluidssnelheid is v = √(γRT/M). Leid hieruit af dat de temperatuurcoëfficiënt bij 20°C approximately 0,6 m/s per °C bedraagt.

Uitwerkingen

1. Afleiding harmonische reeks:
   Randvoorwaarden: gesloten uiteinde = verplaatsingsknoop, open uiteinde = verplaatsingsbuik. De staande golf vereist een oneven aantal kwartgolflengtes in de buis: L_eff = n·λ/4 met n = 1,3,5,… Dus λ = 4L_eff/n en f = v/λ = n·v/(4L_eff).
2. Twee open uiteinden vs één gesloten:
   Bij een tweezijdig open buis zijn beide uiteinden verplaatsingsbuiken. Dit staat toe dat L_eff = n·λ/2 met n = 1,2,3,… — alle gehele veelvouden. Bij één gesloten uiteinde geldt de knoop-buik-voorwaarde, en dat beperkt n tot de oneven getallen.
3. v met onzekerheid:
   Uit lineaire fit: v = 4·r.c. ± 4·σ_r.c.. Typisch: (342 ± 8) m/s bij 20°C. De theoretische waarde 343 m/s valt in de meeste gevallen binnen het interval.
4. Foutenpropagatie:
   Bij L = 0,20 m en Δ = 0,003 m is L_eff = 0,203 m. σ_L/L_eff = 0,0001/0,203 = 0,05%. σ_f/f₁ ≈ 5/420 = 1,2%. De frequentiemeting domineert volledig.
5. Eindcorrectie effect:
   Voor de kleinste buis (bijv. L = 0,05 m, d = 0,012 m) is Δ = 0,0036 m. Zonder correctie: v = 4 × 0,05 × f. Met correctie: v = 4 × 0,0536 × f. Het verschil is 7,2%; verwaarlozen van de eindcorrectie leidt tot een systematisch te lage v.
6. f₃/f₁:
   In een ideale buis geldt f₃/f₁ = 3. In de praktijk wijkt dit licht af, doordat de eindcorrectie bij hogere frequenties (kortere golflengte) iets anders uitpakt, en doordat de buis niet perfect cilindrisch is bij de opening.
7. Temperatuurcoëfficiënt:
   v = √(γRT/M). Differentieren naar T: dv/dT = (1/2)·v/T. Bij 20°C (T = 293 K) en v = 343 m/s: dv/dT = 343/(2·293) ≈ 0,59 m/(s·K) ≈ 0,6 m/s per °C.

Achtergrond

De akoestische eindcorrectie werd eerst empirisch vastgesteld door experimentatoren als Bernoulli en later theoretisch afgeleid door Helmholtz. De exacte waarde Δ = 0,6133·a (met a de straal) voor een buis in een oneindig uitgebreid scherm, en Δ ≈ 0,3·d voor een vrij uiteinde, zijn klassieke resultaten uit de akoestische vloeistofmechanica.

De meting van de geluidssnelheid via resonantie in een buis was in de negentiende eeuw een van de nauwkeurigste methoden om thermodynamische grootheden te bepalen. Koenig en later Kundt verfijnden de techniek met hun stofpatronen in een buis (het experiment van Kundt), waarmee de geluidssnelheid in gassen en vaste stoffen kon worden gemeten.

De Phyphox-app berekent het FFT-spectrum met instelbaar sampleaantal. Met 16384 samples bij 44 100 Hz sampling bedraagt de frequentieresolutie 44100/16384 ≈ 2,7 Hz — voldoende voor nauwkeurige resonantiefrequenties van buizen boven 10 cm lengte.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert PVC-buisjes, schuifmaten, statiefmateriaal en aanvullend meetmateriaal voor geluids- en golfpractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.