De wiskundige slinger: periode, valversnelling en foutenanalyse

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Trillingen en golven (eenvoudige harmonische beweging, EHB, slingerperiode, foutenrekening).

Inleiding

De wiskundige slinger is een van de klassieke modelsystemen in de mechanica: een puntmassa aan een massaloze draad die kleine oscillaties maakt onder invloed van de zwaartekracht. Voor kleine uitslagen gedraagt de slinger zich als een harmonische oscillator, en de periode T = 2π√(L/g) legt een directe kwantitatieve relatie tussen de slingerlengte L en de valversnelling g.

In dit practicum bepaalt u g via een lineaire regressie op de relatie T² = (4π²/g)·L, voert u een volledige foutenpropagatie uit en beoordeelt u de grens van geldigheid van de harmonische benadering door metingen bij grote uitslagen te vergelijken met de theoretische voorspelling.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de bewegingsvergelijking van de wiskundige slinger voor kleine uitslagen afleiden en de harmonische benadering verantwoorden;
• via een lineaire regressie op T² = (4π²/g)·L de valversnelling g bepalen;
• een foutenpropagatie uitvoeren voor g en het dominante foutonderdeel identificeren;
• de geldigheidsgrens van de harmonische benadering kwantitatief onderbouwen;
• de Phyphox-app inzetten voor nauwkeurige periodebepalingen en de meetdata exporteren voor verdere analyse.

Achtergrondinformatie

De vergelijking van beweging van een wiskundige slinger is:

d²θ/dt² = −(g/L) · sin θ

Voor kleine uitslagen geldt de benadering sin θ ≈ θ (θ in radialen). De vergelijking reduceert dan tot die van een harmonische oscillator:

d²θ/dt² = −(g/L) · θ

De hoekfrequentie is ω = √(g/L), en de periode volgt als:

T = 2π/ω = 2π · √(L/g)

Kwadrateren en herschrijven geeft:

T² = (4π²/g) · L

Dit is een rechte lijn door de oorsprong in een T²-L-diagram. De richtingscoëfficiënt levert g = 4π²/r.c.

Voor de foutenpropagatie geldt: als L is bepaald met onzekerheid σ_L en T met onzekerheid σ_T, dan volgt voor de relatieve onzekerheid in g:

(σ_g/g)² = (σ_L/L)² + (2σ_T/T)²

De factor 2 bij σ_T toont dat de tijdmeting kritisch is: een relatieve fout in T telt dubbel mee.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met de Phyphox-app (Android of iOS);
• dunne nylondraad of twijndraad (minimaal 1,5 m);
• compacte, zware bob van bekende massa (minimaal 150 g) — een metalen moer of kogellager is ideaal;
• tweede bob van afwijkende massa voor de massavergelijking;
• meetlint met millimeterindeling;
• gradenboog of hoekmeter voor het instellen van de beginuitslag;
• statiefstaaf met klem als ophangpunt (steviger dan een bezemsteel);
• laptop met Excel of vergelijkbaar programma.

Veiligheid

Dit practicum heeft geen chemische of elektrische gevaren. Borgpunten: controleer de vastheid van de klem aan het statief voor elke meting, gebruik een draad die de belasting ruimschoots aankan, en begrens de uitslag tot maximaal 20° in de standaardmetingen.

Werkwijze

Voorbereiding

1. Open Phyphox en kies het experiment Pendulum. Kalibreer de detectie: controleer dat de app reageert op de slingerbeweging.
2. Bepaal de massa van de bob met een weegschaal. Noteer.
3. Schat de onzekerheid in de lengemeting σ_L (typisch ±2 mm) en in de periodeberekening σ_T (typisch ±0,01 s, afhankelijk van het aantal slingeringen).

Deel 1 — Periode versus slingerlengte

1. Stel L = 20 cm in (meten van ophangpunt tot zwaartepunt bob).
2. Geef de bob een uitslag van maximaal 10° en laat los.
3. Start Phyphox en laat de slinger 20 slingeringen voltooien. Noteer de gemiddelde T.
4. Herhaal drie keer. Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking σ_T.
5. Voer metingen uit bij L = 40, 60, 80, 100, 120 en 140 cm.

Deel 2 — Invloed van de massa

1. Gebruik L = 80 cm. Meet de periode met de zware bob (minimaal vijf herhalingen).
2. Vervang door de lichte bob (zelfde L). Meet opnieuw.
3. Bereken voor beide bobs het gemiddelde en de standaardafwijking.

Deel 3 — Geldigheidsgrens harmonische benadering

1. Gebruik L = 80 cm. Meet de periode bij uitslagen van 5°, 10°, 20°, 30°, 45° en 60°.
2. Noteer elke meting vijf keer en bereken het gemiddelde.

Dataverwerking

1. Maak een tabel: L (m), T_gem (s), σ_T (s), T² (s²), σ_T² (s²). Bereken σ_T² = 2T·σ_T.
2. Plot T² tegen L met foutbalken. Voer een lineaire regressie uit en bepaal de richtingscoëfficiënt met onzekerheid.
3. Bereken g = 4π²/r.c. en σ_g.
4. Plot voor Deel 3 de gemeten T tegen de uitslag θ. Voeg de theoretische waarde T₀ = 2π√(L/g) als horizontale lijn toe.

Verwerkingsvragen

1. Motiveer de harmonische benadering sin θ ≈ θ: bij welke hoek is de relatieve fout kleiner dan 1%?
2. Leid T² = (4π²/g)·L af. Welke grootheid bepaalt de richtingscoëfficiënt van de grafiek?
3. Bepaal g met onzekerheid: g = (… ± …) m/s². Valt de standaardwaarde 9,81 m/s² binnen uw interval?
4. Voer een foutenpropagatie uit voor één meetpunt (L = 1,00 m). Welke term domineert: σ_L/L of 2σ_T/T?
5. Wat concludeert u uit Deel 2 over de invloed van de massa? Onderbouw dit ook via de formule.
6. Verwerk Deel 3 grafisch. Bepaal bij welke uitslag de afwijking van de harmonische voorspelling groter wordt dan 1%. Vergelijk met de theoretische grens.
7. De bob heeft een eindige afmeting. Leg uit waarom de effectieve slingerlengte iets afwijkt van de gemeten draadlengte, en beschrijf in welke richting dit uw g beïnvloedt.
8. Hoe zou u deze opstelling kunnen gebruiken om de variatie van g op aarde (equator versus pool) aan te tonen? Is dat haalbaar met uw gemeten onzekerheid?

Uitwerkingen

1. Grens harmonische benadering:
   sin θ/θ = 1 − θ²/6 + … De relatieve fout is θ²/6. Voor een fout kleiner dan 1% geldt θ² < 0,06, dus θ < 0,245 rad ≈ 14°. De gebruikelijke vuistregel van 15° is daarmee goed verdedigbaar.
2. Afleiding T²:
   T = 2π√(L/g) → T² = 4π²L/g. De richtingscoëfficiënt is 4π²/g; groter g geeft een kleinere helling.
3. g met onzekerheid:
   Uit LIJNSCH in Excel: r.c. ± σ_r.c., waaruit g = 4π²/r.c. ± 4π²σ_r.c./r.c.² Typisch resultaat: (9,7 ± 0,2) m/s²; 9,81 valt hier in de meeste gevallen binnen.
4. Foutenpropagatie L = 1,00 m:
   Met σ_L = 0,002 m: σ_L/L = 0,2%. Met T ≈ 2,00 s, σ_T = 0,01 s: 2σ_T/T = 1,0%. De tijdmeting domineert; σ_g/g ≈ 1,0%.
5. Massa heeft geen effect:
   Uit de formule T = 2π√(L/g): massa m komt niet voor. Beide bobs geven dezelfde T (binnen meetonzekerheid). De verklaring is dat gravitationele massa en traagheidsmasssa gelijk zijn, waardoor de versnelling g voor alle massa's identiek is.
6. Geldigheidsgrens (Deel 3):
   Bij kleine uitslagen (≤ 15°) is de gemeten periode consistent met T₀. Boven ~20° wordt T merkbaar groter. Bij 30° is de afwijking circa 2%, bij 45° circa 4%. De theoretische 1%-grens ligt bij ~14°, wat goed overeenkomt met de experimentele observatie.
7. Eindige bobgrootte:
   Het zwaartepunt van een bolvormige of cilindervormige bob ligt niet aan het oppervlak maar in het middelpunt. De draadlengte loopt tot het oppervlak; de effectieve slingerlengte is draadlengte + straal van de bob. Door alleen de draadlengte te meten, onderschat u L, en daarmee schat u g te laag in.
8. Haalbaarheid variatie g:
   Het verschil in g tussen evenaar (9,78 m/s²) en pool (9,83 m/s²) is 0,5%. Met een typische onzekerheid van 1–2% in dit experiment is dit verschil niet meetbaar. Daarvoor zijn precisiemeetinstrumenten (gravimeters met nauwkeurigheid van 10⁻⁶ m/s²) noodzakelijk.

Achtergrond

De bewegingsvergelijking van de wiskundige slinger heeft geen gesloten oplossing voor grote uitslagen; de exacte periode wordt uitgedrukt als een reeks T = T₀(1 + θ²/16 + …), waarbij T₀ = 2π√(L/g) de harmonische benadering is. Voor VWO-6 en universitair niveau wordt dit verder uitgewerkt via Taylor-reeksen en elliptische integralen.

De slingerperiode werd historisch gebruikt om de variatie van g over de aardoppervlakte in kaart te brengen. Expedities in de zeventiende en achttiende eeuw namen nauwkeurig gecalibreerde slingers mee naar verschillende breedtegraden om de afplatting van de aarde te bepalen. De constatering dat een slinger aan de evenaar langzamer loopt dan in Parijs, bevestigde dat de aarde aan de polen iets dikker is dan aan de evenaar — een bevinding die destijds controversieel was.

De Phyphox-app (RWTH Aken) maakt de versnellingssensor van de smartphone beschikbaar als meetinstrument. Bij periodebepalingen benut de app het principe dat een slingerbeweging een periodiek signaal oplevert in de transversale versnellingscomponent. Door het vermogensspectrum te analyseren, bepaalt de app de dominante frequentie en daarmee de periode.