Valversnelling bepalen met foutenanalyse en smartphone

Niveauaanduiding: VWO 6 — passend bij het domein Kracht en Beweging (eenparig versnelde beweging, vrije val, foutenrekening en grafiekanalyse).

Inleiding

De valversnelling g is een van de meest fundamentele grootheden uit de mechanica. De waarde 9,81 m/s² geldt bij benadering aan het aardoppervlak op gematigde breedte. In dit practicum bepaalt u g zelf, niet door één enkele meting, maar door bij meerdere valhoogtes te meten en de resultaten te verwerken in een grafiek met lineaire fit.

De meting wordt uitgevoerd met de microfoon van een smartphone. De Phyphox-app detecteert het geluid van het loslaten en het neerkomen van het voorwerp en berekent de tussentijd op duizendsten van seconden nauwkeurig. Daarmee benadert deze opstelling de nauwkeurigheid van een klassieke lichtpoort-en-krachtplaat-opstelling, mits zorgvuldig wordt gewerkt.

U voert ook een foutenanalyse uit om vast te stellen welke meting de grootste bijdrage aan de eindfout levert, en u beoordeelt het effect van luchtweerstand op de resultaten.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de bewegingsvergelijking voor een eenparig versnelde beweging vanuit stilstand toepassen op de vrije val;
• met de microfoon van een smartphone via Phyphox de valtijd op milliseconde-niveau bepalen;
• een lineaire fit uitvoeren op een grafiek van s tegen t² en de valversnelling g afleiden;
• een eindfout berekenen via foutenpropagatie;
• de invloed van luchtweerstand kwalitatief en kwantitatief beoordelen;
• systematische en toevallige fouten onderscheiden en kwantificeren.

Achtergrondinformatie

Voor een voorwerp dat vanuit stilstand vrij valt, geldt onder verwaarlozing van luchtweerstand:

s = ½ · g · t²

Met luchtweerstand wordt de beweging niet meer zuiver eenparig versneld. Voor een klein, compact en zwaar voorwerp blijft de afwijking echter beperkt, zeker bij valhoogtes onder 2 meter en valsnelheden onder 6 m/s.

De relatie s = ½g·t² impliceert een lineair verband tussen s en t². Bij meerdere meetpunten (s_i, t_i²) levert een lineaire regressie de richtingscoëfficiënt r.c. = ½g op. De grafiek moet door de oorsprong gaan; een afwijkende y-asafsnijding wijst op een systematische fout (bijvoorbeeld een offset in de detectie van het loslaatgeluid).

Voor de foutenpropagatie: bij g = 2s/t² geldt voor de relatieve onzekerheid:

(σ_g/g)² = (σ_s/s)² + (2·σ_t/t)²

De factor 2 bij σ_t illustreert dat de tijdmeting kritisch is: een relatieve fout in t telt dubbel mee in de eindfout van g.

De Phyphox-app gebruikt voor de meting het experiment Vrije val. De microfoon registreert continu het geluidsniveau; zodra een drempelwaarde wordt overschreden, wordt een tijdstempel opgeslagen. Het verschil tussen het eerste tijdstempel (loslaten) en het tweede (neerkomen) is de valtijd.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met de Phyphox-app (Android of iOS);
• compact, zwaar valvoorwerp (bijvoorbeeld een metalen kogeltje van 10–20 g);
• meetlint of vouwlat met millimeterindeling (minimaal 2 m);
• statief met klem voor reproduceerbare valhoogte;
• elektromechanische loslaatconstructie of mechanische klem (bevordert reproduceerbaarheid en geluidsidentificatie);
• zachte landingsplek (kussen, opgevouwen handdoek);
• rustige meetruimte;
• laptop met Excel of vergelijkbaar programma voor dataverwerking.

Veiligheid

Dit practicum bevat geen chemische gevaren. Praktische voorzorgsmaatregelen:

• borg het statief op stabiele wijze; gebruik bij valhoogtes > 1,5 m bij voorkeur een statief en niet een trap;
• controleer het valpad op aanwezigheid van andere voorwerpen;
• plaats de smartphone buiten het valpad maar binnen detectiebereik (typisch 1 m van het loslaatpunt).

Werkwijze

Voorbereiding

1. Open in Phyphox het experiment Vrije val.
2. Test de detectiedrempel: tik op het tafelblad en controleer dat de app reageert. Pas zo nodig de gevoeligheid aan in de instellingen.
3. Plaats de smartphone op een vaste positie naast het statief, met de microfoon vrij. Documenteer de positie zodat alle metingen onder identieke akoestische condities verlopen.
4. Schat de onzekerheid in de afleeshoogte (typisch ±2 mm) en in de tijdmeting (typisch ±5 ms door detectiedrempel).

Uitvoering

1. Stel een valhoogte in van 0,30 m, gemeten van de onderkant van het voorwerp tot het landingsoppervlak. Noteer de exacte waarde.
2. Start Phyphox.
3. Laat het voorwerp los. Phyphox registreert de valtijd.
4. Herhaal de meting minimaal 5 keer. Noteer alle individuele waarden.
5. Herhaal de procedure voor valhoogtes van 0,50 m, 0,75 m, 1,00 m, 1,50 m en 2,00 m.
6. Documenteer afwijkende waarden (bijvoorbeeld door achtergrondgeluid) en sluit deze met onderbouwing uit.

Dataverwerking

1. Maak een tabel met kolommen: s (m), σ_s (m), t_gem (s), σ_t (s), t² (s²), σ_t² (s²).
2. Bereken σ_t² = 2·t·σ_t.
3. Exporteer eventueel de ruwe Phyphox-data via Export data (CSV) en open in Excel.
4. Maak een grafiek van s tegen t² met foutbalken op beide assen.
5. Voer een lineaire fit uit (in Excel: trendlijn met optie "vergelijking weergeven", of LIJNSCH-functie voor standaardafwijking van de richtingscoëfficiënt).
6. Bereken g = 2 × r.c. en σ_g = 2 × σ_r.c.
7. Beoordeel de y-asafsnijding en bespreek deze.

Verwerkingsvragen

1. Leid voor een vrij vallend voorwerp uit stilstand de positie- en snelheidsvergelijking af en formuleer welke voorwaarden voor de geldigheid moeten zijn vervuld.
2. Welke vorm verwacht u theoretisch voor de grafiek van s tegen t²? Wat betekent een y-asafsnijding ongelijk aan nul?
3. Bepaal g uit de richtingscoëfficiënt van uw grafiek. Geef het resultaat met onzekerheid: g = (… ± …) m/s².
4. Voer een foutenpropagatie uit voor één individueel meetpunt (bijvoorbeeld s = 1,00 m). Welke bron levert de grootste bijdrage: σ_s of σ_t?
5. Vergelijk uw waarde voor g met de standaardwaarde g₀ = 9,81 m/s². Ligt 9,81 m/s² binnen uw onzekerheidsinterval?
6. Schat de luchtweerstandskracht F_w = ½·ρ·C_d·A·v² bij de eindsnelheid v = √(2gs) van de grootste valhoogte. Neem voor een muntstuk: ρ = 1,2 kg/m³, C_d = 1,1, A = 4,5·10⁻⁴ m². Vergelijk F_w met de zwaartekracht F_z = m·g, met m = 7 g.
7. Op basis van vraag 6: wat is de verwachte procentuele afwijking van de gemeten g ten opzichte van 9,81 m/s²? Komt dit overeen met uw experimentele resultaat?
8. Onderscheid in uw meting tenminste twee systematische en twee toevallige fouten. Voor elk: hoe kunt u deze beperken?
9. De microfoon-detectie van Phyphox heeft een drempel. Stel de drempel wordt iets later overschreden bij het loslaten dan bij het neerkomen. Welk effect heeft dat systematisch op de gemeten t en daarmee op g?
10. Stel: u herhaalt de proef op 4000 m hoogte (in de bergen). Theoretisch is g daar 0,12% lager. Is dit verschil met uw opstelling meetbaar? Onderbouw met uw onzekerheidsinterval.

Uitwerkingen

1. Afleiding bewegingsvergelijkingen:
   Voor een vrij vallend voorwerp geldt a = g (constant). Daaruit volgt door integratie: v(t) = g·t (met v(0) = 0) en s(t) = ½g·t² (met s(0) = 0). Geldigheid vereist: verwaarloosbare luchtweerstand, constante g over het meetinterval, en stilstand op t = 0.
2. Verwachte grafiekvorm:
   s tegen t² is een rechte lijn door de oorsprong met richtingscoëfficiënt ½g. Een y-asafsnijding b ≠ 0 wijst op een systematische tijdoffset: als de app het loslaatgeluid systematisch later detecteert dan het werkelijke loslaten, wordt t te klein gemeten, en lijkt s bij elke t² te hoog. De y-asafsnijding wordt dan positief.
3. Bepaling g met onzekerheid:
   Uit de LIJNSCH-functie van Excel volgt r.c. ± σ_r.c.. Daaruit g = 2·r.c. ± 2·σ_r.c.. Een typisch resultaat ligt rond (9,7 ± 0,2) m/s², waarbij de werkelijke waarde van 9,81 m/s² binnen het interval valt.
4. Foutenpropagatie individueel meetpunt:
   Bij s = 1,00 m en t = 0,45 s (zodat g = 9,87 m/s²): (σ_s/s) = 0,002 m / 1,00 m = 0,2%; (2σ_t/t) = 2 × 0,005 s / 0,45 s = 2,2%. Daarmee σ_g/g = √(0,2² + 2,2²)% = 2,2%. De tijdmeting domineert volledig.
5. Vergelijking met standaardwaarde:
   Als 9,81 m/s² binnen [g_gemeten − σ_g, g_gemeten + σ_g] valt, is het resultaat consistent met de literatuurwaarde. Bij goed uitgevoerde metingen is dat meestal het geval.
6. Luchtweerstand bij s = 2,00 m:
   Eindsnelheid v = √(2 × 9,81 × 2,00) = 6,26 m/s. F_w = ½ × 1,2 × 1,1 × 4,5·10⁻⁴ × 6,26² = 0,012 N. Zwaartekracht F_z = 0,007 × 9,81 = 0,069 N. F_w/F_z = 17%. Dit is bij de eindsnelheid, dus gemiddeld over de val ligt het lager (ongeveer 6%).
7. Verwachte afwijking g:
   Gemiddeld over de val werkt luchtweerstand een netto remmende kracht ter grootte van enkele procenten van F_z. De gemeten g ligt daardoor ongeveer 3 tot 5% onder 9,81 m/s² bij valhoogte 2 m. Bij kleine valhoogtes (0,30 m) is dit effect verwaarloosbaar (< 1%). Een goed uitgevoerd experiment laat deze trend in de losse g-waarden zien.
8. Systematische en toevallige fouten:
   • Systematisch: detectiedrempel van de microfoon (te beperken door reproduceerbare loslaatconstructie); onderschatting van de valhoogte door dikte van het voorwerp (te beperken door valhoogte vanaf zwaartepunt te meten).
   • Toevallig: variatie in achtergrondgeluid (te beperken door rustige ruimte); variatie in starthouding van de hand (te beperken door mechanische loslaatconstructie).
9. Effect van vertraagde drempeloverschrijding:
   Als de drempel bij het loslaten consistent later wordt overschreden dan bij het neerkomen, wordt t systematisch onderschat. Volgens g = 2s/t² leidt dit tot een te hoge g. Een systematische y-asafsnijding boven nul in de s-t²-grafiek is hiervan een teken.
10. Hoogte 4000 m:
    Een verschil van 0,12% in g betekent een verschil van 0,012 m/s² op een waarde van 9,81 m/s². Met een typische experimentele onzekerheid van 0,2 m/s² is dit verschil twee ordes van grootte kleiner dan de meetfout en dus niet meetbaar met deze opstelling.

Achtergrond

De valversnelling g is niet exact constant op aarde. Variaties ontstaan door de afplatting van de aarde (g is groter aan de polen dan aan de evenaar), door hoogteverschillen (g neemt af met afstand tot het middelpunt) en door lokale dichtheidsverschillen in de aardkorst. Voor gematigde breedte op zeeniveau wordt 9,81 m/s² als standaard aangehouden. Bij precisiemetingen, bijvoorbeeld voor geodesie of fundamentele natuurkunde, wordt gebruikgemaakt van absolute gravimeters die met laserinterferometrie de val van een spiegel meten in een vacuümtank.

De Phyphox-app is een initiatief van de RWTH-universiteit Aken, ontwikkeld onder leiding van Sebastian Staacks. De app heeft sinds 2016 een actieve gebruikersgemeenschap en wordt gratis verspreid voor wetenschappelijk en educatief gebruik. Voor het meten van vrije val benut de app het feit dat moderne smartphone-microfoons een hoge tijdsresolutie hebben (typisch 44 of 48 kHz sampling), waarmee tijdintervallen tot enkele microseconden in principe kunnen worden onderscheiden. In de praktijk wordt de nauwkeurigheid echter beperkt door de detectiedrempel en akoestische omstandigheden.

Het hier beschreven practicum kan worden uitgebreid met een vergelijkende meting tussen verschillende voorwerpen (variatie in oppervlakte-massa-verhouding), of met een onderzoek naar de eindsnelheid van een vallend papiertje. Daarmee komt het thema luchtweerstand expliciet aan bod.

Neem contact op voor advies of bekijk het assortiment in de webshop.