Snaarfrequentie en boventonen: kwantitatieve analyse met Phyphox

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Golven (staande golven op een snaar, harmonischen, Fourier-analyse, foutenrekening).

Inleiding

De frequentie van een snaar wordt bepaald door lengte, spanning en massadichtheid, en de reeks van harmonischen die een snaar voortbrengt is het prototype van Fourier-analyse: elk periodiek signaal is op te bouwen uit sinusvormige componenten. In dit practicum bepaalt u de snaarfrequentie als functie van de snaarlente via een lineaire fit, identificeert u de harmonische reeks in het FFT-spectrum en voert u een foutenpropagatie uit op de bepaalde geluidssnelheid.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de resonantiefrequenties van een aan beide uiteinden vastgeklemde snaar afleiden en de harmonische reeks identificeren;
• de formule f₁ = v_snaar/(2L) toepassen en de golfsnelheid in de snaar bepalen;
• een lineaire fit uitvoeren op f₁ versus 1/L en de richtingscoëfficiënt interpreteren;
• de boventonen in het FFT-spectrum identificeren en de amplitudeverhouding bepalen;
• een foutenpropagatie uitvoeren voor de golfsnelheid in de snaar.

Achtergrondinformatie

Voor een snaar van lengte L die aan beide uiteinden is vastgeklemd, gelden de randvoorwaarden: verplaatsingsknopen aan beide uiteinden. De toegestane staande golven voldoen aan:

L = n · λ/2   (n = 1, 2, 3, …)

De bijbehorende frequenties zijn:

fₙ = n · v_snaar / (2L)

waarbij v_snaar = √(F_s/μ) de golfsnelheid in de snaar is, F_s de snaarspanning en μ de lineaire massadichtheid. Alle harmonischen (n = 1, 2, 3, …) zijn aanwezig — in tegenstelling tot een eenzijdig gesloten buis.

Voor de foutenpropagatie van v_snaar = 2L·f₁:

(σ_v/v)² = (σ_L/L)² + (σ_f/f₁)²

Benodigde laboratoriumapparatuur

• smartphone met Phyphox-app;
• gitaar of monochord (snaar van bekende lengte en massa);
• meetlint en schuifmaat;
• stemvork (440 Hz) voor ijking van de meting;
• optioneel: tweede smartphone met Tone Generator.

Veiligheid

Geen gevaren. Gebruik een rubberhamer voor de stemvork.

Werkwijze

Deel 1 — Ijking met stemvork

1. Sla de stemvork (440 Hz) aan. Open Audio Spectrum met 16384 samples. Lees de piekfrequentie af.
2. Bereken de afwijking van de app ten opzichte van de nominale 440 Hz. Gebruik dit als ijkfout σ_f,sys.

Deel 2 — f₁ versus L op de gitaarsnaar

1. Kies de B-snaar (h, nominaal 247 Hz open). Meet de open snaarlente L (nut tot zadel).
2. Open Audio Spectrum (16384 samples). Tokkelt de open snaar; lees f₁ af. Herhaal drie keer.
3. Druk de snaar op de 2e, 4e, 7e, 9e en 12e fret. Meet elke keer de effectieve snaarlente en lees f₁ af.
4. Stel een tabel op: L (m), 1/L (m⁻¹), f₁ (Hz), σ_f (Hz).
5. Maak een grafiek van f₁ versus 1/L. Voer een lineaire fit uit. De richtingscoëfficiënt is v_snaar/2.

Deel 3 — Harmonische reeks

1. Tokkelt de open lage E-snaar (nominaal 82 Hz).
2. Open Audio Spectrum. Zoom in op het bereik 0–1000 Hz.
3. Identificeer alle zichtbare harmonische pieken. Noteer frequentie en relatieve amplitude.
4. Controleer of de verhouding f₂/f₁, f₃/f₁, enz. gehele getallen zijn.

Verwerkingsvragen

1. Leid de reeks fₙ = n·v_snaar/(2L) af vanuit de randvoorwaarden. Geef tekeningen voor n = 1, 2 en 3.
2. Bepaal v_snaar met onzekerheid uit de lineaire fit van Deel 2.
3. Voer de foutenpropagatie uit voor één meetpunt (L = 0,640 m). Welke bijdrage domineert?
4. Controleer de harmonische reeks uit Deel 3: zijn de verhoudingen fₙ/f₁ inderdaad gelijke gehele getallen? Welke harmonische heeft de grootste relatieve amplitude?
5. Vergelijk de harmonische reeks van de snaar (tweezijdig ingeklemd) met die van een eenzijdig gesloten buis. Wat is het fundamentele verschil?
6. De golfsnelheid in de snaar v_snaar = √(F_s/μ). Als u de spanning met een factor 4 vergroot, hoe verandert f₁ dan? Onderbouw.
7. In de muziek is de verhouding f₂/f₁ = 2 (een octaaf). Laat zien dat dit overeenkomt met een halvering van de snaarlente.

Uitwerkingen

1. Afleiding harmonische reeks:
   Randvoorwaarden: verplaatsingsknopen op beide uiteinden. Dit vereist L = n·λ/2 met n = 1, 2, 3, … De golfsnelheid in de snaar is v_snaar. Dan fₙ = v_snaar/λₙ = n·v_snaar/(2L). Alle gehele veelvouden zijn toegestaan.
2. v_snaar uit fit:
   Richtingscoëfficiënt r.c. = v_snaar/2 → v_snaar = 2·r.c. Voor een standaard gitaar-B-snaar is v_snaar ≈ 315–330 m/s, afhankelijk van de snaarspanning en de gebruikte snaar. Onzekerheid: σ_v = 2·σ_r.c..
3. Foutenpropagatie:
   σ_L/L ≈ 0,0005/0,640 = 0,08%. σ_f/f₁ ≈ 5/247 = 2%. De frequentiemeting domineert volledig.
4. Harmonische reeks:
   De pieken bij f₁, 2f₁, 3f₁, 4f₁, … zijn zichtbaar. De verhouding fₙ/f₁ geeft gehele getallen. Doorgaans zijn de eerste drie à vier harmonischen het sterkst; hogere harmonischen hebben lagere amplitudes. De sterkst aanwezige harmonische hangt af van de tokkelpositie.
5. Snaar vs gesloten buis:
   Een snaar (tweezijdig vastgeklemd) heeft alle harmonischen (n = 1, 2, 3, …). Een eenzijdig gesloten buis heeft uitsluitend de oneven harmonischen (n = 1, 3, 5, …). Dit verschil is fundamenteel: de randevoorwaarden bepalen welke staande golven mogelijk zijn.
6. Spanning viervoudig:
   f₁ ~ √F_s. Bij F_s × 4: f₁,nieuw = √4 · f₁ = 2·f₁. De frequentie verdubbelt — een octaaf hoger.
7. Octaaf als halvering lengte:
   f₂ = 2·f₁ = 2·v_snaar/(2L) = v_snaar/(L). Anderzijds: bij L' = L/2 geldt f₁' = v_snaar/(2·L/2) = v_snaar/L = 2·f₁. Halvering van de lengte levert precies de tweede harmonische van de originele snaar op.

Achtergrond

De harmonische reeks van een snaar is het prototype van Fourier-analyse. Joseph Fourier bewees in 1822 dat elk periodiek signaal kan worden ontbonden in een som van sinusfuncties op de grondfrequentie en haar harmonischen. De relatieve amplitudes en fasen van die harmonischen bepalen het timbre van een instrument — het karakter dat een viool van een hobo onderscheidt, ook al spelen ze dezelfde noot op dezelfde frequentie.

De Phyphox-app berekent de FFT van het audiosignaal. Met 16384 samples bij 44 100 Hz sampling bereikt de frequentieresolutie 2,7 Hz. Voor een lage snaarfrequentie van 82 Hz betekent dit een relatieve resolutie van 3,3% — voldoende om de harmonischen tot en met de vijfde of zesde te onderscheiden. Voor hogere frequenties (247 Hz e.h.) is de relatieve resolutie beter dan 1,1%.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert stemvorksets, monochordsystemen en statiefmateriaal voor geluids- en golfpractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.