Zweving en superpositie: kwantitatieve analyse met Phyphox

Niveauaanduiding: VWO 4 of 5 — passend bij het domein Golven (superpositie, interferentie, zweving, Fourier-analyse).
Opmerking VMBO-T: zweving valt buiten het VMBO-T-examenprogramma.

Inleiding

Zweving is een van de meest directe demonstraties van het superpositiebeginsel: twee sinusvormige golven met bijna gelijke frequentie resulteren in een signaal waarvan de amplitude periodiek varieert met een frequentie gelijk aan het absolute frequentieverschil. In dit practicum analyseert u zweving kwantitatief via drie onafhankelijke methoden: directe tijdmeting van de zwevingsperiode, meting van de zwevingsfrequentie via het FFT-spectrum, en analytische verificatie van de zwevingsformule. U voert tevens een foutenanalyse uit en bestudeert het overgangsgebied waar zweving overgaat in afzonderlijk waarneembare tonen.

Leerdoelen

Na afloop van dit practicum kunt u:

• de zwevingsformule f_b = |f₁ − f₂| analytisch afleiden via superpositie van sinusgolven;
• zweving kwantitatief meten via oscilloscooptijdmeting en FFT-spectrumsanalyse;
• de perceptuele grens van zweving experimenteel bepalen en vergelijken met de literatuurwaarde;
• een foutenpropagatie uitvoeren voor de gemeten zwevingsfrequentie;
• het concept amplitudemodulatie verbinden aan zweving en aan technische toepassingen.

Achtergrondinformatie

De superpositie van twee sinusvormige signalen met gelijke amplitude A en frequenties f₁ en f₂ geeft:

y(t) = A·sin(2πf₁t) + A·sin(2πf₂t)

Via de somformule sin α + sin β = 2·cos(½(α−β))·sin(½(α+β)) volgt:

y(t) = 2A · cos(π Δf · t) · sin(2π f̄ · t)

waarbij Δf = f₁ − f₂ het frequentieverschil is en f̄ = ½(f₁+f₂) de gemiddelde frequentie (draagtoon). De amplitudemodulerende term |cos(πΔf·t)| heeft periode 1/|Δf|, maar bereikt tweemaal per periode een maximum. De auditief waarneembare zwevingsfrequentie is dus:

f_b = |Δf| = |f₁ − f₂|

In het frequentiedomein (FFT) zijn de twee componenten f₁ en f₂ als afzonderlijke pieken zichtbaar, niet de zwevingsfrequentie zelf. De zwevingsfrequentie volgt indirect als het verschil van de twee piekfrequenties.

De perceptuele grens waarbij zweving overgaat in het horen van twee afzonderlijke tonen ligt bij Δf ≈ 15–25 Hz, afhankelijk van de centrale frequentie en de luisteraar. Dit is gerelateerd aan de kritische bandbreedde van het oor.

Benodigde laboratoriumapparatuur

• twee of drie smartphones met Phyphox-app;
• rustige meetruimte;
• optioneel: koptelefoon voor gecontroleerde geluidsperceptie.

Veiligheid

Geen gevaren. Houd het volume op een normaal gespreksniveau. Vermijd langdurige blootstelling aan hoog volume.

Werkwijze

Deel 1 — Kwantitatieve zwevingsmeting

1. Stel telefoon A in op f₁ = 440 Hz (Tone Generator). Stel telefoon B in op f₂ = 441 Hz.
2. Open op telefoon C (of na pauze van de tonen) Audio Scope. Leg telefoon C tussen A en B.
3. Laat beide tonen klinken. Pas de tijdbasis in de oscilloscoop aan totdat u twee à drie volledige zwevingeycli ziet.
4. Meet de zwevingsperiode T_b door de tijdschaal af te lezen. Bereken f_b = 1/T_b.
5. Herhaal voor frequentieverschillen van 2, 3, 5 en 8 Hz. Noteer steeds f₁, f₂ en de gemeten f_b.

Deel 2 — FFT-spectrum analyse

1. Open Audio Spectrum op het meetapparaat. Stel 16384 samples in.
2. Laat f₁ = 440 Hz en f₂ = 443 Hz gelijktijdig klinken.
3. Zoom in op het spectrum rond 440 Hz. Lees beide piekfrequenties nauwkeurig af.
4. Bereken Δf uit het spectrum en vergelijk met de instelling en met de tijdmetingen uit Deel 1.

Deel 3 — Perceptuele grens

1. Houd f₁ = 440 Hz vast. Vergroot f₂ stapsgewijs: 441, 445, 450, 460, 480 Hz.
2. Luister per stap: hoort u nog zweving, of klinken de tonen als apart? Noteer de grenswaarde van Δf.
3. Herhaal bij f₁ = 880 Hz. Verschuift de perceptuele grens?

Verwerkingsvragen

1. Leid y(t) = 2A·cos(πΔf·t)·sin(2πf̄·t) volledig af. Verklaar waarom f_b = |Δf| en niet ½|Δf|.
2. Stel f₁ = 440 Hz en f₂ = 443 Hz. Bereken de verwachte zwevingsperiode T_b in seconden. Hoeveel volledige golven van de draagtoon passen in één zwevingsperiode?
3. Vergelijk f_b uit Deel 1 (tijdmeting) met Δf uit Deel 2 (FFT). Zijn ze gelijk? Voer een foutenpropagatie uit voor f_b uit tijdmeting.
4. Wat is de perceptuele grens die u in Deel 3 vond? Vergelijk met de literatuurwaarde van ≈ 15–25 Hz. Verschilt de grens bij 880 Hz ten opzichte van 440 Hz?
5. In de FFT is de zwevingsfrequentie zelf niet als piek zichtbaar, terwijl u die wel hoort. Verklaar dit verschijnsel.
6. Een AM-radiozender werkt op 900 kHz draaggolffrequentie met een audiosignaal van 3 kHz. Welke frequenties zijn aanwezig in het uitgezonden signaal? Trek de analogie met zweving.
7. Een gitarist hoort 3 zwevingen per seconde. Nadat hij de snaar iets strakker trekt, neemt de zwevingsfrequentie toe naar 4 Hz. Werd de snaar omhoog of omlaag afgestemd ten opzichte van de referentietoon? Verklaar.

Uitwerkingen

1. Volledige afleiding:
   y = A·sin(2πf₁t) + A·sin(2πf₂t). Met α = 2πf₁t, β = 2πf₂t en de somformule: y = 2A·cos(π(f₁−f₂)t)·sin(π(f₁+f₂)t). De amplitude-enveloppe |2A·cos(πΔf·t)| is maximaal wanneer cos = ±1, dus op tijdstippen t = k/(2Δf). De periode tussen opeenvolgende maxima is 1/|Δf|, en er zijn twee maxima per periode van de cosinus: f_b = |Δf|.
2. Zwevingsperiode en draagtoonperiode:
   T_b = 1/|f₁−f₂| = 1/3 s ≈ 0,333 s. De draagtoonperiode is T̄ = 1/441,5 s ≈ 0,00226 s. Aantal draagtoonperiodes in T_b: 0,333/0,00226 ≈ 147 golven per zwevingeyclus.
3. Vergelijking en foutenpropagatie:
   Beide methoden geven f_b = |Δf| (binnen meetonzekerheid). Voor tijdmeting: σ_Tb ≈ halve rasterdeeling tijdas; σ_fb = σ_Tb/T_b². Voor Δf uit FFT: σ = frequentieresolutie ≈ 2,7 Hz (bij 16384 samples). Voor kleine Δf is de tijdmeting nauwkeuriger; voor grote Δf wint de FFT.
4. Perceptuele grens:
   Typisch gemeten bij 440 Hz: grens rond Δf = 12–20 Hz. Bij 880 Hz is de grens iets groter, omdat de kritische bandbreedde van het oor (circa 1/3 octaaf) proportioneel met de centrale frequentie schaalt. Dit is consistente met de psychoacoustische theorie van Zwicker.
5. Zweving niet als FFT-piek:
   De FFT lost het signaal op in de basisfrequenties van de samenstellende sinusgolven. Het gesuperponeerde signaal bevat uitsluitend de componenten f₁ en f₂; de zwevingsfrequentie Δf is geen aparte sinus maar een modulatie van de amplitude. De FFT toont de magnitudecomponenten — niet de amplitudevariatie in de tijd. Alleen een spectrogramstechniek (STFT) maakt de tijdsvariatie van de amplitudes zichtbaar.
6. AM-radio analogie:
   Een AM-signaal: y(t) = [1 + m·cos(2πf_mt)]·cos(2πf_ct) = cos(2πf_ct) + ½m·cos(2π(f_c+f_m)t) + ½m·cos(2π(f_c−f_m)t). Bij f_c = 900 kHz en f_m = 3 kHz zijn de aanwezige frequenties: 900, 897 en 903 kHz — analoog aan f̄, f₂ en f₁ bij zweving. Zweving is in feite een laagfrequente AM-modulatie.
7. Gitaarsnaar omhoog of omlaag:
   Strakker trekken verhoogt de frequentie. Als de snaar al 3 Hz boven de referentie zat (f_snaar = 443 Hz) en nu strakker wordt gemaakt (f_snaar = 444 Hz), neemt de zweving toe naar 4 Hz. Als de snaar 3 Hz onder de referentie zat (f_snaar = 437 Hz) en strakker wordt (f_snaar = 438 Hz), neemt de zweving af. Omdat de zweving toenam, zat de snaar al boven de referentie en is hij verder omhoog gegaan.

Achtergrond

Zweving speelt een rol in uiteenlopende domeinen. In de muziek is het de basis voor de methode van het stemmen bij gehoor. In de radiotechniek is amplitudemodulatie een directe toepassing van hetzelfde wiskundige principe. In de kwantummechanica beschrijven zwevingsverschijnselen de temporele oscillaties in gesuperponeerde quantumtoestanden — de basis van kwantumcomputing. In de medische diagnostiek benut de Dopplerechografie zweving tussen de uitzend- en teruggekaatste frequentie om bloedstroomsnelheden te meten.

De Phyphox Tone Generator heeft een nauwkeurigheid van 0,1 Hz, voldoende om zwevingen van 1 Hz betrouwbaar te genereren. Het gebruik van twee afzonderlijke smartphones garandeert onafhankelijke oscillatoren, wat bij computersimulaties niet het geval zou zijn als beide tonen door dezelfde klokgenerator werden aangestuurd.

Benodigde laboratoriumapparatuur van Labvakhandel

Labvakhandel levert stemvorksets en statiefmateriaal voor akoestische demonstraties en golfpractica in het voortgezet onderwijs.

Bekijk het assortiment natuurkunde artikelen of neem contact op voor advies.

Meer practicumopdrachten

Ontdek alle practica in de Labvakhandel kennisbank — voor biologie, scheikunde en natuurkunde.